济南市中考数学压轴题—几何题5

发布于 2021-03-31 23:58 ，所属分类：在线教育信息快讯

济南市中考数学试题在2011—2020这十年的分值和试题结构可分为两个阶段：第一阶段2011—2017总分120分；第二阶段2018—2020总分150分。具体情况如下：

在2011至2017年这七年中都是28道题，选择题15个每题3分，共45分，填空题6个，每题3分，共18分，解答题7个，共57分，总分120分，其中2013-2017年第27题是几何大题，2011年第28题是几何大题，2012年第26题是几何大题。

在2018至2020年这三年中都是27道题，选择题12个，每题4分，共48分，选择题6个，每题4分，共24分，解答题9个，共78分，总分150分，第26题是属于几何大题。

纵观近十年的中考题，几何压轴题一般以等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形为基础，进行旋转、对称、平移的变化，综合三角形全等、相似，特殊四边形性质与判定进行考查。

今天继续分析2016年第27题，后面会不断更新。

【原题呈现】

（2016济南市中考数学试题27）

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．

（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝

度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为

．
（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（二）拓展延伸
如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．

【分析1】

本题又是直接写出角的度数和线段之间的关系，三条线段之间的关系一般情况下是最长线段＝另两条线段的和。对于这类题最简单快捷的方法就是测量+猜测（前提图形准确），推理的方法需要分析题意，运用旋转的性质得出边、角之间的关系，证明三角形全等得出结论。这里包含一个角含半角的模型，如果平时对这个模型比较熟练，那也可以直接写出结论。

【解答1】

解：（一）（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′，则
∠1＝∠2，BE＝DE′，AE＝AE′，

（旋转前后的两个图形，对应角相等，对应边相等）
∵∠BAD＝60°，∠EAF＝30°，
∴∠1＋∠3＝∠BAD-∠EAF

＝60°-30°=30°，

∴∠2＋∠3＝30°，即∠FAE′＝30°
∴∠EAF＝∠FAE′，
在△AEF和△AE′F中，











AE＝AE′

∠EAF＝∠FAE′

AF＝AF（公共边）

，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF＝E′F，

∵E′F＝DF＋DE′，BE＝DE′，

∴EF＝DF＋BE，

即线段BE、EF、FD之间的数量关系为BE＋DF＝EF，
故答案为：30，BE＋DF＝EF；

【分析2】

本题要探讨的是三条线段的数量关系，因此仍然可以从“最长线段＝另两条线段的和这一方面来考虑”。

本题由图1点E、F分别在线段BC、CD上，改变为点E、F分别在线段BC、CD的延长线上，可以先用度量的方法猜测结论，后面再考虑能不能用图2思路证明。没有了图2中的三角形旋转，其方法还是把图形构造出图2中的全等三角形，证明与DF（或BE）相等的线段，再进一步进行证明与BE（或DF）相等的线段。先构造一个三角形与△ADF全等（或与△ABE全等），进而再证明与△AEF全等的三角形，使问题得以证明。（本答案采用构造与△ADF全等的三角形）

【解答2】

（2）如图3，在BE上截取BG＝DF，连接AG.

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴∠ADF＝180°-∠ADC

=180°-90°=90°，

又∵∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝∠ADF

在△ABG和△ADF中，







