数学学科素养之数学建模河北中考解答题

发布于 2021-08-23 17:37 ，所属分类：中考学习资料

一、（2021年河北中考数学第25题）（10分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T₁～T₅（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T₁到x轴距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x²+4x+12发出一个带光的点P．

（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；

（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T₅有交点；

（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？

[注：（2）中不必写x的取值范围]

1.分析：（1）由题意台阶T₄的左边端点（4.5，7），右边端点的坐标（6，7），求出x＝4.5，6时的y的值，即可判断．

（2）由题意抛物线C：y＝﹣x²+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，构建方程组求出b，c，可得结论．

（3）求出抛物线与X轴的交点，以及y＝2时，点的坐标，判断出两种特殊位置点B的横坐标的值，可得结论．

2.解：（1）图形如图所示，由题意台级T₄左边的端点坐标（4.5，7），右边的端点（6，7），

对于抛物线y＝﹣x²+4x+12，

令y＝0，x²﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，

∴A（﹣2，0），

∴点A的横坐标为﹣2，

当x＝4.5时，y＝9.75＞7，

当x＝6时，y＝0＜7，

当y＝7时，7＝﹣x²+4x+12，

解得x＝﹣1或5，

∴抛物线与台级T₄有交点，设交点为R（5，7），

∴点P会落在哪个台阶T₄上．

（2）由题意抛物线C：y＝﹣x²+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11，

∴，

解得或（舍弃），

∴抛物线C的解析式为y＝﹣x²+14x﹣38，

对称轴x＝7，

∵台阶T₅的左边的端点（6，6），右边的端点为（7.5，6），

∴抛物线C的对称轴与台阶T₅有交点．

（3）对于抛物线C：y＝﹣x²+14x﹣38，

令y＝0，得到x²﹣14x+38＝0，解得x＝7±，

∴抛物线C交x轴的正半轴于（7+，0），

当y＝2时，2＝﹣x²+14x﹣38，解得x＝4或40，

∴抛物线经过（10，2），

Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，

∴当点D与（7+，0）重合时，点B的横坐标的值最大，最大值为8+，

当点B与（10，2）重合时，点B的横坐标最小，最小值为10，

∴点B横坐标的最大值比最小值大﹣1．

3.本题是二次函数背景下的实际应用，台阶抛物线问题，与前几年考题相似又有区别，通过数学建模把实际问题抽象成二次函数拍抛物线的数学模型，然后运用待定系数法、解方程或方程组等来求交点坐标。数学教学应注重理论来源于实际，通过抽象建模转化成数学问题。

二、（2018年河北中考数学第26题）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．