中考数学压轴题分析:动点旋转产生的交点问题2

曲线的交点问题平时考查的不多，大部分情况是与圆有关的切线问题。本文内容选自2020年恩施中考数学压轴题。题目涉及将三角形绕动点旋转90°产生的问题。难度中等偏上，值得大家学习。

本文与前面的襄阳中考数学压轴题有类似之处，大家可以对比一下：

中考数学压轴题分析：动点旋转产生的交点问题

【中考真题】

（2020•恩施州）如图1，抛物线

（1）求抛物线的解析式；
（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．
（3）在（2）的旋转变换下，若（如图．
①求证：．
②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．
【分析】

题（1）求解析式，代入点C的坐标，以及对称轴的公式即可。

题（2）中PC与x轴的夹角易得为45°，那么绕x轴上面的动点逆时针旋转90°之后，与x轴的夹角仍然是45°或135°，不可能与对称轴平行。因此我们只需设未知数表示出旋转后的点E、F的坐标，然后得到EF的解析式，联立二次函数的解析式，然后利用△=0即可得到结论。

题（3）在（2）的旋转变换基础上面进行研究，不过没有说明只有一个交点，因此还需设未知数表示坐标。①中证明线段相等，只需表示出两个线段长即可。②中也是类似，把E的坐标代入二次函数的解析式即可，然后再直接求线段长。
【答案】解：（1）点