2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）

发布于 2022-06-28 22:47 ，所属分类：在线教育信息快讯

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#选择题#高考数学#数学#高考#中考

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若z=-1+
√
3
i，则
z
z

z
−1
=（　　）

A．-1+
√
3
i B．-1-
√
3
i C．-
1
3
+
√
3
3
i D．-
1
3
-
√
3
3
i
组卷：262真题：1难度：0.8

2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：

则（　　）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

组卷：230真题：2难度：0.7

3．（5分）设全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，2}，B={x|x²-4x+3=0}，则∁_U（A∪B）=（　　）
A．{1，3} B．{0，3} C．{-2，1} D．{-2，0}
组卷：232真题：1难度：0.8
4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
组卷：122真题：2难度：0.6
5．（5分）函数y=（3^x-3^-x）cosx在区间[-
π
2
，
π
2
]的图像大致为（　　）

A． B．
C． D．
组卷：171真题：1难度：0.6
6．（5分）当x=1时，函数f（x）=alnx+
b
x
取得最大值-2，则f′（2）=（　　）

A．-1 B．-
1
2
C．
1
2
D．1
组卷：233真题：2难度：0.6
7．（5分）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知B₁D与平面ABCD和平面AA₁B₁B所成的角均为30°，则（　　）
A．AB=2AD
B．AB与平面AB₁C₁D所成的角为30°
C．AC=CB₁
D．B₁D与平面BB₁C₁C所成的角为45°
组卷：271真题：2难度：0.6
8．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，
⌢
AB
是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在
⌢
AB
上，CD⊥AB．“会圆术”给出
⌢
AB
的弧长的近似值s的计算公式：s=AB+
CD2
OA
．当OA=2，∠AOB=60°时，s=（　　）

A．
11−3
√
3
2
B．
11−4
√
3
2
C．
9−3
√
3
2
D．
9−4
√
3
2
组卷：211真题：1难度：0.7
9．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S_甲和S_乙，体积分别为V_甲和V_乙．若
S甲
S乙
=2，则
V甲
V乙
=（　　）

A．
√
5
B．2
√
2
C．
√
10
D．
5
√
10
4
组卷：365真题：3难度：0.5
10．（5分）椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为
1
4
，则C的离心率为（　　）

A．
√
3
2
B．
√
2
2
C．
1
2
D．
1
3
组卷：206真题：1难度：0.7
11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+
π
3
）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）

A．[
5
3
，
13
6
） B．[
5
3
，
19
6
） C．（
13
6
，
8
3
] D．（
13
6
，
19
6
]
组卷：246真题：1难度：0.6
12．（5分）已知a=
31
32
，b=cos
1
4
，c=4sin
1
4
，则（　　）

A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
组卷：209真题：1难度：0.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）设向量
→
a
，
→
b
的夹角的余弦值为
1
3
，且|
→
a
|=1，|
→
b
|=3，则（2
→
a
+
→
b
）•
→
b
=

．
组卷：257真题：1难度：0.6
14．（5分）若双曲线y²-
x2
m2
=1（m＞0）的渐近线与圆x²+y²-4y+3=0相切，则m=

．
组卷：117真题：1难度：0.6
15．（5分）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
．
组卷：164真题：1难度：0.8
16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD．当
AC
AB
取得最小值时，BD=

．
组卷：304真题：2难度：0.5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）记S_n为数列{a_n}的前n项和．已知
2Sn
n
+n=2a_n+1．
（1）证明：{a_n}是等差数列；
（2）若a₄，a₇，a₉成等比数列，求S_n的最小值．

组卷：316真题：2难度：0.5
18．（12分）在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD=DC=CB=1，AB=2，DP=
√
3
．
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．

组卷：362真题：1难度：0.6
19．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
组卷：211真题：1难度：0.8
20．（12分）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
（1）求C的方程；
（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．
组卷：177真题：2难度：0.3
21．（12分）已知函数f（x）=
ex
x
-lnx+x-a．
（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；
（2）证明：若f（x）有两个零点x₁，x₂，则x₁x₂＜1．

组卷：313真题：1难度：0.3

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x＝
2+t
6
，
y＝
√
t

（t为参数），曲线C₂的参数方程为
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x＝−
2+s
6
，
y＝−
√
s

（s为参数）．
（1）写出C₁的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₃的极坐标方程为2cosθ-sinθ=0，求C₃与C₁交点的直角坐标，及C₃与C₂交点的直角坐标．

组卷：120真题：2难度：0.7

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a，b，c均为正数，且a²+b²+4c²=3，证明：
（1）a+b+2c≤3；
（2）若b=2c，则
1
a
+
1
c
≥3．

组卷：68真题：2难度：0.4
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