【八下数学】 菱形、正方形性质&判定重难点突破

例2：

菱形ABCD对角线交于点O，已知其边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为______．

本题中，显然要利用菱形的对角线垂直，和对角线乘积的一半求面积，不妨设对角线的一半长为x，y，即设对角线长分别为2x，2y，从而根据勾股定理和面积列方程，求出x＋y的值，进而求出2x＋2y的值．

解答：

例2：

如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F，AB＝3，BC＝9，

(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论，并求CE的最小值；

(2)当CE最长时，用尺规作图，作出四边形CEGF的位置，并求此时线段CE、EF的长．

(1)由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，可知GE＝CE，由平行加角平分，可证得△EFG是等腰三角形，GE＝GF，则可证CE＝GF，从而可证四边形BGEF为平行四边形，再证其为菱形．而要求CE的最小值，则转化为求CF的最小值；

(2)要使CE取最大值，则CF取最大值，则点F要越靠近点A，GF与CE等长，则当点G与点A重合时，CE最大，此时，根据EF与CG互相垂直平分，作出CA的中垂线，即可作出四边形CEGF的位置．再设x，根据勾股定理建立方程即可解决．

解答：

(1)证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠1＝∠2，

由翻折知，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，

∴GF＝GE，∴GE＝EC，

∴GF＝EC，又∵GF∥EC，

∴四边形CEGF为平行四边形，

∵GE＝GF，∴平行四边形CEGF为菱形；

例1：

如图，已知正方形ABCD，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则∠AFD的度数为________．

根据正方形及等边三角形的性质求得∠BFE的度数，再根据对顶角相等，求出∠CFD，根据对称性，即可求得∠AFD的度数．

解答：

例2：

正方形ABCD所在平面内有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，则具有这样特性的点有______个．

首先，正方形两条对角线的交点满足条件，

其次，考虑△PAB、△PCD为等腰三角形，则P在AB、CD的中垂线上，

再考虑△PBC、△PDA为等腰三角形，则分别以C、D为圆心，BC为半径作圆．交点与刚才所作的AB、CD的中垂线有两个，正方形形内一个，形外一个，即CD边两侧各有一个．

以此类推，AB边，BC边，AD边两侧也各有一个，则共有8个，加上对角线交点的一个，共有9个．

解答：

例3：

如图所示，正方形ABCD中，P为BC边上的一点，Q为CD边上一点，且PQ＝BP＋DQ，求∠PAQ的度数．

显然，这是一个半角模型的结论，因此，我们可以用八上的知识点解决．这里我们可以用旋转的方法来做，省去一次全等的过程，但要证明△ADQ旋转后的图形一边与BC共线．

解答：

例4：

如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.

(1)请判断：FG与CE的数量关系是______，位置关系是_______；

(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；

(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断．

(1)平行且相等；

(2)可先证明△DCE≌△CBF，从而证明CF＝DE＝EG，再结合十字模型，证明CF∥EG，则四边形CEFG为平行四边形，问题得证；

(3)成立．

解答：