济南市中考数学压轴题—几何题3

发布于 2021-03-29 08:15 ，所属分类：在线教育信息快讯

        济南市中考数学试题近几年一般是27道题，其中26题是属于几何大题，纵观近十年的中考题，本题一般以等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形为基础，进行旋转、对称、平移的变化，综合三角形全等、相似，特殊四边形性质与判定进行考查。

      今天继续分析2018年第26题，后面会不断更新。

【原题呈现】
（2018济南市中考数学试题26题）
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．


（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；
（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，求CF的最大值．
【分析1】
        本题是直接写出角的度数，在图形准确的前提下，仍然可以直接测量。通过题意可知△ABC是一个顶角是120°的等腰三角形，可求得底角是30°，解答本题的第一个想法就是能否根据三角形全等证明∠ADE与某个角相等，进行转化后求得角的度数。
【解答1】
解：（1）∠ADE＝30°．
理由如下：如图1


∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
（等边对等角）
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠ACM＝∠ABC，
（等量代换）
在△ABD和△ACE中，


AB＝AC
∠ABC＝∠ACE
BD＝CE
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，
（全等三角形对应边相等，对应角相等）
∴∠CAE—∠CAD＝∠BAD—∠CAD
（等式的性质）
∴∠DAE＝∠BAC＝120°，
又∵AD＝AE
∴∠ADE＝∠AED
（等边对等角）
又∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，
∴∠ADE+∠AED=180°—120°=60°，
∴∠ADE＝30°；
答案为：∠ADE＝30°
【分析2】
        图2与图1的不同之处在于点D的位置不同，点D的位置从线段BC的延长线到了线段BC上，证明的思路是一致的.
【解答2】
（2）（1）中的结论成立，
证明：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°．
∵∠ACM＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACM＝30°．
在△ABD和△ACE中，
AB＝AC
∠ABC＝∠ACE
BD＝CE
，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．
∴∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC
＝∠BAC＝120°．
即∠DAE＝120°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝30°；
【分析3】
        由题意可知点D是线段BC上的一个动点，线段AD的长度随点D的位置不断变化，点D从点C到点B运动的过程中，由长变短再变长，当线段AD⊥BC时，AD最短，此时AF也是最短的，AC的长度一定，所以AC-AF就是最长的，也就是线段CF最长。本题通过三角形相似得到线段AD与线段AF的大小关系，利用点到直线垂线段最短得到线段AD的长度，从而求得线段CF的长度。
【解答3】
（3）∵AB＝AC，AB＝6，
∴AC＝6，
∵∠ADE＝∠ACB＝30°
且∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD．
（两角对应相等的两个三角形相似）
∴
AD
AC
＝
AF
AD
．
（相似三角形对应边成比例）
∴AD2＝AF•AC．
∴AD2＝6AF．
∴AF＝
AD2
6
．
∴当AD最短时，AF最短、CF最长．
（点D是BC边上点，是一个动点，点A是个定点，点到直线垂线段最短，CF=AC-AF）
易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时AD＝
1
2
AB＝3．
∴AF最短＝
AD2
6
＝
32
6
＝
3
2
．
∴CF最长＝AC−AF最短＝6−
3
2
＝
9
2
．

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