2021年高考数学命题角度研究(237)

发布于 2021-03-31 03:46 ，所属分类：在线教育信息快讯

第九章平面解析几何

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、考纲考情：1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

二、核心素养形成：数学运算.

三、考查角度：主要通过直线与圆的位置关系判断切线、弦长问题，考查数学运算能力.

角度二　切线、弦长问题

【典例剖析】

【典例】(2019·重庆一中模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4与直线m：y＝x－1的交点为圆C的圆心，设圆C的半径为1. (1)过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)过点A作斜率为－1/2的直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长．

解析：(1)联立，得y＝2x－4和y＝x－1得C(3,2)，则过点A的圆C的切线的斜率一定存在，设过点A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，则|3k＋1|/(k²＋1)^1/2＝1，解得k＝0或－3/4，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)易得直线l：x＋2y－6＝0，则圆心C到直线l的距离d＝|3＋2×2－6|/(2²＋1)^1/2＝5^1/2/5，则弦长|AB|＝2×(1－1/5)^1/2＝4×5^1/2/5.

[方法总结]处理切线、弦长问题的策略

1．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．

2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．

【冲关演练】

1．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)²＋y²＝1引切线，则切线长的最小值为()

A．1 B．2 C.7^1/2 D．3 答案：C

解析：设圆心为C(3,0)，P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|_min＝(|PC|²－1)^1/2_min＝(|PC|²_min－1)^1/2，又|PC|_min＝|3－0＋1|/[(1²＋(－1)²]^1/2＝2×2^1/2，所以|PN|_min＝7^1/2.

2．(2019·成都七中质检)若点P(1,1)为圆x²＋y²－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()

A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 答案：D

解析：x²＋y²－6x＝0化为标准方程为(x－3)²＋y²＝9，∵P(1,1)为圆(x－3)²＋y²＝9的弦MN的中点，又圆心与点P确定的直线的斜率为(1－0)/(1－3)＝－1/2，∴弦MN所在直线的斜率为2，∴弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选D.

3．(2019·吉林省实验中学模拟)已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．

(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

解析：(1)设圆M的方程为(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r＞0)，根据题意得(1－a)²＋(－1－b)²＝r²和(－1－a)²＋(1－b)²＝r²及a＋b－2＝0，解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)²＋(y－1)²＝4.

(2)由题意知，四边形PAMB的面积为S＝S_△_PAM＋S_△_PBM＝(1/2)(|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|)．又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|²＝|PM|²－|AM|²＝|PM|²－4，所以S＝2(|PM|²－4)^1/2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|_min＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为2(|PM|²－4)^1/2＝2×5^1/2.