在“综合与实践”课中树立建模意识 ——以“自行车里的数学”为例

小学数学“综合与实践”中有一类课重在通过亲身体验的探究活动，帮助学生建立数学模型，进而用数学模型解决实际问题。那么，在实际教学中怎样帮助学生建立正确模型和拓展应用、让学生体验模型价值，从而提高课堂教学的有效性呢？下面就以人教版六年级下册“自行车里的数学”教学片段为例来分析怎样在“综合与实践”课中树立建模意识。

片段1：

师:同学们刚才提的问题都很不错，有些问题是我们以前研究过的，今天我们就先共同来研究“蹬一圈自行车能走多远？”这个问题。

师:这句话是什么意思呢?

生:也就是蹬一圈自行车的踏板，自行车行走的路程。

师：说得好!同学们，谁知道自行车是怎么行进的？

（教师边说边推动一辆自行车，请学生仔细观察、讨论、回答。）

生：靠车把推动的。

生：靠脚踏推动齿轮转动，齿轮带动车轮前进的。

师：“蹬一圈”到底是什么转动了一圈?请同学们仔细观察。（教师转动脚踏，让学生仔细观察。）

生:脚踏板转动了一圈。

师:“走多远”指的是什么呢?

生:指的是自行车车轮滚动所行驶的路程。

师:说得对，自行车是由后轮驱动的，所行驶的距离也就是后轮在地面上滚动的距离。

师:这里有一点需要说明，今天我们研究的这个距离不考虑特殊因素的影响，今天咱们只研究在蹬的过程中链条带动自行车后轮所行驶的距离。

【评析】

在日常生活中，对于自行车学生都不陌生，但通过课前与学生的几次交谈，发现学生对于自行车只是“知其然而不知其所以然”。对于自行车是如何运动的？前后齿轮的齿数、转数有怎样的等量关系？变速自行车为什么能变速？绝大部分学生都只了解大概。基于对学情的了解，课前，王老师给予学生充足的时间到生活中去调查尤其是自行车的前进原理是本节课的基础。

片段2：

师:既然是自行车后轮在地面上滚动的距离，如果后轮在地面上滚动一圈自行车能走多远呢?

生：蹬一圈量一下就知道了。

生:后轮在地面上滚动一圈所行驶的距离就是后轮的周长。

师：怎样知道前齿轮转一圈，后齿轮转多少圈呢？怎么办？(播放动画)大家注意观察:脚踏板转一圈，后轮也只转了一圈吗?

生:课件演示中后轮转了两圈。

师:那所行驶的距离怎样计算呢?

生:应该就是“后轮周长乘2”。

师:如果后轮转五圈呢?

生:后轮周长乘5。

师生总结：蹬一圈所行距离=后轮周长×后轮滚动圈数。(师板书)

师:在这个公式的两个条件中，后轮的周长可以通过测量计算得到，可是脚踏板转一圈，为什么这辆自行车的后轮转了两圈呢?所有的自行车都是这样吗?

生:不一定，不同的自行车蹬一圈后轮滚动的数也不同。

师:后轮滚动的数到底是由什么决定的呢?

（生猜想可能的原因）

师:看来“后轮滚动数”才是我们今天解决问题的关键所在，下面我们就重点来探究“蹬一圈，后轮滚动几圈”这个问题。

【评析】

探究前后齿轮齿数的关系是本节课的一个教学难点。通过观察动态演示，避免了研究自行车实物过程中出现的很多无关或是不利因素，使得研究的问题更简洁直接。接着，多让学生观察几遍，进而构建“前齿轮齿数×前齿轮转数＝后齿轮齿数×后齿轮转数”这一关键的模型。

片段3：

师:为了解决这个问题，我们还是先来了解一下自行车的驱动原理吧，请同学们观察并思考：后轮的滚动与什么有关呢?(课件演示)

（找学生汇报）

师:同学们观察得真仔细，表达描述得也很完整。大家再观察一下、后轮。动与后齿轮的转动有什么规律?

生:后轮与后齿轮结合在一起，它们的转动是同步的。

师:前、后齿轮转动为什么会有快慢之分呢?与什么有关呢?

生:前齿轮大一些转的就慢一些，后齿轮小一些转的也就快一些，与齿数有关。

师:原来转动的快慢与齿数有关，如果前齿轮有2个齿，后齿轮怎么动?请同学们在小组内讨论，说说你是怎样想的?

生小组合作、讨论交流。

师:如果前齿轮转动2个齿，后齿轮怎么动？如果前齿轮转动5个齿呢？10个齿呢？同学们有没有发现什么规律？（前齿轮的齿数×它的圈数＝后齿轮的齿数×圈数）

师：齿轮的齿数和转动的圈数什么关系？（反比例关系）

生说师板书：后齿轮转的圈数=前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数

归纳：前后齿轮数相差越大，蹬一圈走得最远。车轮越大，蹬一圈走的越远。

【评析】

“数学来源于生活，运用于生活。”本课先通过理论介绍自行车前进原理，再进行实践演示前齿轮转1圈，后齿轮大约转几圈，最后得到前齿轮大一些转的就慢一些，后齿轮小一些转的也就快一些，与齿数有关这一结论，符合学生的认知发展规律，以理论为基础，使得实践更高效的开展。每个环节上都是相辅相成的。

片段4：

师：通过我们刚才的观察、研究，我们了解了自行车蹬一圈所走的路程等于自行车车轮的周长×（前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数）。车轮大小不变时，前后齿轮的齿数的比值越大，蹬一圈自行车走距离就越远，速度也就越快。而为适应各种需要，人们还发明了变速自行车。

师：老师这辆变速自行车，有2个前齿轮和6个后齿轮，它能变化出多少种速度呢？

（学生讨论交流，完成表格，并汇报情况。）

师：蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走的最远？

结论：蹬同样的圈数，前后齿轮的齿数的比值越大，自行车走的最远。

【评析】

本课在研究变速自行车环节从“哪种组合使得自行车走的最远”到“如何在不同的路况下选择前后齿轮的组合”，接着，利用表格记录观察的数据，更直观形象地帮助学生通过现象看到本质，发现规律性结论，从理论延伸到实际生活，感受到数学与生活的广泛联系。

【总评】

“综合实践”课的开设目的不仅仅要让学生会解决课本上呈现出来的问题，还要教会学生透过表象，深入分析，能够剥离现实的外壳，抽取出内在的数量关系。这样的“综合”也不应仅限于学生现行教材中的知识，还要与现实生活联系，本节课教师组织的活动让学生产生学习的欲望，学生通过实践真正了解自行车的前进原理，并且构建了自行车前进的模型，这就是一节好课，学生才是课堂的主人，学生才是知识的建构者、促进者和吸收者。

[本文系2020年度河南省基础教育教学研究项目《小学数学第二学段综合与实践课典型案例研究》（课题编号：JCJYC20040513）研究成果。]