2021年全国高考数学甲卷试题分析(2)

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工作室领衔人李萍

　　随着最近几年各省逐渐推进新高考，高考各地用卷有所调整，原有的全国三卷不变，称为全国甲卷，适用于四川、云南、贵州、广西、西藏地区。数学甲卷落实了高考内容改革的要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，把数学和实际生活紧密结合，体现了高考数学对于实际生活的指导作用，全面落实科学发展观，稳中有变，稳中求新。

　　整套试卷难度和最近一两年相比，难度略有降低，但知识点考察全面，着重考察学生的数学基本功，对于复习中扎实做题的学生较为友好，整体而言是一套非常契合最近几年高考数学命题的改革方向的试题。

　　我们李萍名师工作室的全体老师在高考结束之后第一时间对高考试题作了分析，接下来我们会分期推出老师们对全国高考甲卷的分析点评。

第一篇 全面分析篇（2）

2021年全国高考甲卷数学试题分析和点评

——乔光富

1、突出基础知识、核心素养、关键能力的考查

（1）比如：重视数学建模核心素养考查：其中第4题，第8题分别从青少年视力检测以及高度测量问题出发考察学生的数学建模能力，数学的应用性功能；

（2）关键能力之一的运算能力要求也很高，比如:从第2题开始就需要计算,而且有些试题的运算能力要求很高；20题：重在考察直线与圆之间未知关系，还算比较常规题目，但是计算量比较大，可能多数学生不能完整解答，有较好的区分度，利于高校选才。

2、注重向新高考的过渡转换，有今年八省联考题的影子

　　比如：18题属于“结构不良题”，与新高考试题类似：现在我们的高三备考教师和学生绝对不能只注意老高考试卷模式，一定要更多新高考数学试卷的转变，重视两者之间的区别、联系，新老高考都要重视，以免学生在进入考场见到试题后出现太大的心里变化，而且心态不稳，影响学生的正常发挥.

3、试题考察角度有所创新

比如：试卷的填选压轴题12,16题是学生高三备考过程中必练的型题，但是这两个题考察角度新颖，脱离俗套，让学生有似曾相识之感，但又耳目一新，易于上手，但是不一定能够完美解答，区分度也比较明显。

4、试题中也借鉴了原来四川命题的好的考点及考法

　　比如：理科立体几何第一问（几何法）和文科立体几何第二问的考法，在12年四川题的第14题考过，其它省份在前些年也有考；

又比如：21题导数解答题出现采用指数型导数，考察角度新颖，但在14年四川高考19题出现过

再比如：去年的16题的多选题的考法是四川命题常见考法

　　这说明我们老师和学生备考时，要注意研究以前高考试题中一些比较好的考点与考法.

　　总体来说此套试卷区分度还是比较强，可以让学生轻松上手的题目不少，但是要取得满分不太容易，对套路化的一味刷题的学生来说应该会受到比较大的打击，但在尖子生的筛选上还是略显难度低了一点点.

乔光富简介

　　中学高级教师，在教坛耕耘已有三十年，先后送出二十届高中毕业生，担任过十八年班主任工作；先后被评为县级、市级优秀教师和优秀班主任，曾任市级高中数学中心组成员；多篇论文获奖或者核心期刊上发表，所带班级多次被评为县级市级“先进班集体”。

　　我本姓乔，我也甘做一座架通学生们从中学到理想大学的桥；也乐做一座架通学生们从梦想到实现梦想的桥！

　　全国三卷，今年称全国甲卷！核心素养考查体现的淋漓尽致！数学运算的基本功要求很高，这就给今年的考生当头一棒；直观想象要求很高，空间想象能力高的同学才能得心应手，节约考试时间；逻辑推理可用酣畅淋漓来表达，这是理性思维的集中体现，这是新课改高考的指挥棒；出题估计参考了八省联考，同构思想的多次出现，近似估算的考查，特殊数据处理，开放性大题试题的出现，无不充分的说明现在的刷题已经不顶用了，不刷题更加不得行。核心素养的教学落实意见迫在眉睫。

杨超简介

　　杨超，本科学历，中学一级，中共党员，内江市高考优秀班主任、内江市高考优秀教师，成都教科院附中数学竞赛主教练、成都教科院附中高一年级备课组组长。从教11年以来，所教学科一直名列前茅，所带班级被评为市级优秀班集体，教学论文获省市奖10余篇，市级以上赛课、献课、讲座交流10余次，省级课题主研1次。

　　教学理念：学会学习、善于学习、热爱学习

全国甲卷试题特征

　　2021年高考数学全国卷共分为：全国甲卷、全国乙卷、全国新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、各地方卷组成，全国甲卷适用地区是：四川、云南、贵州、西藏、广西地区。

　　一、社会与经济发展，例如甲卷理科第2题，以我国在脱贫攻坚工作中取得的全面胜利为背景，通过数据统计的图表形式呈现，考查学生分析问题和数据处理能力。

　　二、注重数学的实际运用，例如甲卷理科第8题，以珠峰测量为背景，倡导理论联系实际、学以致用，通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值。

　　三、向新高考靠近，适度开放“结构不良问题”，例如甲卷理科18题，试题给出部分已知条件，要求考生根据试题要求构建一个命题，考查学生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等数学必备能力。

　　四、突出数学本质、重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则。例如甲卷20题，圆锥曲线问题以抛物线为背景，跳脱圆锥曲线的常规套路，注重考查解析几何本质，用代数解决几何问题，考查学生的数学分析能力、数学运算能力等。

原卷试题：

　　一线教师善于在万变中寻找不变，在圆锥曲线板块复习时，在经过基础知识的梳理后总结出很多题型，对应各种套路，例如圆锥曲线中的范围问题、定值问题、定点问题、阿基米德三角形模型等等，培养学生的能力时需要以这些问题为载体，但我们培养的目标绝不仅限于解决以上问题，这样就会让学生的数学能力变得单一、创新能力受到局限，本次20题的考查就突破了局限与套路，让学生没办法联立得到关键方程使用韦达定理进行分析，需要学生根据题干具体分析，利用解析几何基本思想方法，逐个突破已知条件，考查学生的逻辑思维能力、数学运算能力等，所以指导在接下来的高三复习中一线教师的重点应该是重点培养学生核心素养、数学能力，这样才能以“不变”应“万变”，以不变等数学能力应对万变的问题背景，构建数学模型，成为更好的数学学习者。

易雪梅简介

　　易雪梅，中共党员，中学二级教师，教龄11年。2015年清华大学青年教师培训班结业；2018年赴杭州参加新课改培训；2019年华东师范大学骨干教师研修班结业。2020年参加高新区骨干教师培训。

　　教育格言：教育是关爱，是呵护，是坚守和期待。

　　本套试卷落实高考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用。试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，设计真实问题情境，体现数学的应用价值。试卷稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性，稳中求新，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。

　　第1、3、4、5、8题考查了学生对集合、复数、基本初等函数性质、双曲线、余弦定理等数学基础知识的掌握。

　　第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，通过图表给出了某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，以此设计问题，考查考生分析问题和数据处理的能力。

　　第6题以社会普遍的青少年视力问题为背景设计，重点考查了考生的数学理解能力和运算求解能力。

　　第7题以学生熟悉的正方体为载体，考查了数学抽象、直观想象等数学核心素养。

　　整套试卷难度适中，试题注重理论联系实际，体现数学的应用价值，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用，对选拔与育人具有积极的意义。

宋忍简介

　　宋忍，四川省成都西藏中学数学教师，中共党员，硕士研究生。从教6年，担任班主任工作4年，所带班级连续4年被评为校优秀班级体。多次评为校先进德育工作者，民主评议优秀党员，曾获高新区班会录像课一等奖，在2020届教育教学工作中表现突出，评为成都市优秀教师。撰写多篇学科论文和德育论文。

　　“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”，一年年的高考送走了一批又一批功成名就的学子，我们不甚欢喜，同时也研究着每年不一样的船票，为下一年的学子增风造浪。

　　拿到2021年全国甲卷理科数学试卷的第一分钟，先大致浏览一遍，试卷结构和往年一样，16个小题，6个大题，没有多选，填空题也没多空题。解答题的顺序也较常规，圆锥次压轴，导数压轴。

　　第二遍重点各题型最后几道，11题考查球的几何性质，考查空间想象能力、逻辑推理和数学运算。涉及的模型是对球的考查中最简单的一种，属于必练模型，本题难度较小。12题考查函数的基本性质，奇偶性、对称性和周期性的融合，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。是在高一上期就出现的题型，结合基本初等函数三角函数数形结合来解题十分简单。作为选择压轴来说，题型常见，难度不大，在近几年的大型考试中很少见到这类压轴题了，今年高考另辟蹊径，就考对重要性质的掌握情况。16题考查三角函数的图像与性质，由图像可求得周期和初相，接下来安装题意顺着往下求就行，在思维上来说基本没有难度，也是三角函数部分必练题型，总的来说，选填压轴题型常规，易于上手，但需考生仔细求解。解答题20题考查抛物线的相关性质，第二问利用“设而不求”，巧设直线方程，结合方程思想，解决直线与圆的位置关系问题。本题算作比较常规的基本题目，在八省联考中才出现过，

但是计算量较大，可能多数学生不能完整解决，具有一定的区分度。

　　21题考查利用导数研究函数的单调区间、函数图像的交点、导数的综合应用等，考查数形结合、化归与转化、函数与方程思想，考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模核心素养。函数的分子分母底数与指数位置恰好对称，猜测方向与结构有关，果然第二问考查函数同构思想，且构造的新函数为导数这一章中补充的几个常见函数之一。当然也可直接研究函数，在讨论单调性时分类讨论，计算较同构复杂一些，后续也需构造函数解不等式。

　　第三遍开始定时做题，选择题题第4、8题以生活实际、社会热点为背景，考查学生阅读理解能力和数学运算核心素养，第4题是社会聚焦青少年视力问题。解答题18题是一个开放性问题，自主选择方案，构建命题并给与证明，考查学生对等差数列基本量、基本公式的掌握情况，给考生充分的选择空间，体现对数学本质的认识，培养数学核心素养，克服“机械刷题”的现象。这样既有利于选拔，又有利于考生发挥好自己的数学能力水平。19题第一问考查动直线的垂直问题，第一问证明了三线垂直就可直接建系，第二问实际也是考查求二面角，在求最值时涉及到用二次函数求最值，较以往立几感觉难度加大。

　　总的来说这些题的设计重视对学科主干知识的考查，杜绝偏、怪、繁，试题内容和分数的权重均与高中数学学科主干内容相匹配。考查考生的逻辑推理和运算求解能力，需要考生灵活运用化归与转化思想，分析问题和解决问题。为培养考生核心素养发挥了积极的导向作用。

张萱萱简介

　　西南大学毕业，国家三级心理咨询师，从教数学学科7年来，教学成绩优秀，积极探索有效的教学及德育管理模式，教学风格轻松幽默，课堂效率高，班级管理优秀；与人友善，待人诚恳，做事勤勉踏实，深受学生和同事喜爱。

　　曾获市百万职工技能大赛二等奖，区技能大赛一等奖，区领航杯团队比赛一等奖，区同课异构大赛一等奖，区视频课例一等奖等。