高中数学------考点10函数的表示与函数的定义域

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【基础回顾】

一、课本基础提炼
1．函数与映射的概念
　　设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
　　一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A →B为从集合A到集合B的一个映射,记作“f:A→B”.

２.函数的三要素
定义域、值域和对应法则

3.常用的函数表示法
　①解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;
　②列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
　③图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

4.函数的定义域
　①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等）;
　②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
　③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义.

二、二级结论必备
1.函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f,当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.

2.在映射f：A→B中满足两个允许,两不允许：允许B中有剩余元素,不允许中有剩余元素A；允许多对一,不允许一对多.

3．若f(x)定义域为[a,b],则f(x+m)(m≠0)的定义域为[a-m.b-m],值域为[a,b].

【技能方法】

1.判断两个函数是否相同
例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数？
　（1）
　（2）
　（3）
　（4）
（5）f(x)=x²-2x-1,g(t)=t²-2t-1
【解析】
　　（1）由于,故它们的值域及对应法则都不相同,所以它们不是同一函数.
　　（2）由于函数的定义域为（－∞,0）∪（0,+∞）,而的定义域为R,所以它们不是同一函数.
　　（3）由于当n∈N*时,2n±1为奇数,
,它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数.
　　（4）由于函数的定义域为{x|x≥0},而的定义域为{x|x≤－1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.
　　（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.
【点评】
　　对于两个函数y=f（x）和y=g（x）,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时,y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之亦然.
　（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透,要知道,在函数的定义域及对应法则f不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达式,这对于函数本身并无影响,比如f（x）=x²+1,f（t）=t²+1,f（u+1）=（u+1）²+1都可视为同一函数.
　（2）对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是同一函数.

2.配凑法、换元法、待定系数法、方程组法是求函数解析式的基本方法
　　例2.（1）已知,求f(x);
（2）已知,求f(x);
（3）已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
（4）已知f(x)满足求f(x)．
【解析】
　　（1）∵,
∴f(x)=x³-3x（x≥2或x≤-2）．
　　（2）令,
则
　　（3）设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,
∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7．
（4）①,把①中的x换成②,
①×2-②得
【点评】
　　①已知函数类型,求函数的解析式时常用待定系数法;②已知f(x)求f[g(x)]或已知[g(x)]求f(x)用换元法、配凑法.

3.已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式
例3.已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称,且当x∈(0,＋∞)时,有,求当x∈(－∞,－2)时,f(x)的解析式
【解析】
　　设x＜－2,则－x－2＞0,由函数y＝f(x)的图象关于x＝－1对称,得
【点评】
　　已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式的基本方法是在待求解析式的区间上任取x,然后找到一个含x的简单式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质进行转化.

4.已知函数解析式求函数定义域
【例4】求下列函数的定义域:
　（1）
　（2）f(x)lg(x-ka)+lg(x²-a²)
【解析】
　（1）,解得函数定义域为

　（2）（先对a进行分类讨论,然后对k进行分类讨论）,
　①当a=0(k∈R)时,函数定义域为(0,+∞);
　②当a＞0时,得
　1）当时,函数定义域为(ka,+∞),
　2）当时,函数定义域为(a,+∞),
　3）当时,函数定义域为(ka,-a)∪(a,+∞));
　③当a＜0时,得,
　1）当时,函数定义域为(ka,+∞),
　2）当时,函数定义域为(-a,+∞),,
　3）当时,函数定义域为(ka,a∪(-a,+∞)).
【点评】
　　给出解析式求函数定义域就是求使解析式有意义的自变量的范围,注意第（2）小题的解析式中含有参数,要对参数的取值进行讨论.

4.复合函数定义域
　　例4.（1）已知,求f(f(x))的定义域;
　（2）已知函数f(x)定义域为(0,2),求的定义域.
【解析】
　　因为,所以
解得x≠-1且x≠-2,所以函数f(x)定义域是(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)
（2）由解得,所以所求函数的定义域为.
【点评】
　　若已知f(x)的定义域[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域可由a≤g(x)≤b求出;若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域．

5.实际问题中的函数解析式与定义域问题
　　例5.在△ABC中,BC=2,AB+AC=3,中线AD的长为y,AB的长为x,建立y与x的函数关系式,并指出其定义域.

【解析】
　　设∠ADC＝θ,则∠ADB＝π－θ.
根据余弦定理得1²＋y²－2ycosθ＝（3－x）²,
　①1²＋y²－2ycos（π－θ）＝x²,
　②由①＋②整理得.

∴函数的定义域为.
【点评】
　　对于在实际问题中产生的函数关系,其定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义.

6.给定定义域求参数范围
　　例6.已知f(x)=1n(x²+2x+m)
　(1)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;
　(2)若f(x)的值域为R,求实数m的取值范围.
【解析】
　　对于(1),因为 的定义域为R,所以x²+2x+m>0的解集为R,故只需△=4-4m<0,即m>1,因此实数m的取值范围是(1,+∞);对于(2)要使f(x)的值域为R,t=x²+2x+m的函数值应能取到所有正数,即(0,+∞)是t=x²+2x+m的值域的子集,所以应有△=4-4m≥0,即m≤1,因此实数m的取值范围是(-∞,1].
【点评】对于(2)是函数中的一个易错点,相当一部分学生不能正确理解.

【基础达标】

1.（2015重庆文3）函数f(x)=log₂(x²+2x-3)的定义域是（　　）.
　A.[-3,1]　　　　　　　　B.(-3,1)
　C．(-∞,-3]∪[1.+∞)　　D．(-∞,-3)∪(1.+∞)
【答案】D
【解析】由题意知x²+2x-3＞0,解得x＞1或x＜-3.故选D．

2.（2015陕西文4）设,则f(f(-2))=（　　）.
　A.-1　　B.1/4　　C.1/2　　D.3/2
【答案】C
【解析】
　　因为f(-2)=2^-2=1/4,所以.故选C.

3. 若函数f（x）=log_a（x+1）（a＞0,a≠1）的定义域和值域都是［0,1］,则a等于（　　）
　A.　　B.　　C.　　D.2
【答案】D
【解析】
　　f（x）=log_a（x+1）的定义域是［0,1］,∴0≤x≤1,则1≤x+1≤2当a＞1时,0=log_a1≤log_a（x+1）≤log_a2=1,∴a=2;当0＜a＜1时,log_a2≤log_a（x+1）≤log_a1=0,与值域是［0,1］矛盾 综上,a=2

4.如果f［f（x）］=2x－1,则一次函数f（x）=_______.
【解析】
　　设f（x）=kx+b,则f［f（x）］=kf（x）+b=k（kx+b）+b=k²x+kb+b.由于该函数与y=2x－1是同一个函数,∴k²=2且kb+b=－1.


5.已知,则f（x）的定义域为_______.
【答案】（4,+∞）
【解析】
　　设x²－4=t,则t≥－4,x²=4+t.
由得x＞4.所以f（x）的定义域为（4,+∞）.

【能力提升】

1.（2015湖北文6）函数的定义域为（　　）.
　A.(2,3)　　B．(2,4]　　C．(2,3)∪(3,4]　　D．(-1,3)(3,6]
【答案】C
【解析】
　　由函数y=f(x)的表达式可知,函数f(x)的定义域应满足条件:4-|x|...0且\frac{\sup{x}{2}-5x+6}{x-3}＞0,解之得-4≤x≤4且x＞2,
x≠3,即函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,4].故选C.

2.下列函数中,不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
　A. f(x)＝|x|　　 B. f(x)＝x－|x|
　C. f(x)＝x＋1　　D. f(x)＝－x
【答案】C
【解析】
　　若f(x)＝|x|,则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x);若f(x)＝x－|x|,则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x);若f(x)＝－x,则f(2x)＝－2x＝2f(x);若f(x)＝x＋1,则f(2x)＝2x＋1,不满足f(2x)＝2f(x),故选C.

3.已知集合M＝{－1,1,2,4},N＝{0,1,2},给出下列四个对应法则:①y＝x²,②y＝x＋1,③y＝2^x,④y＝log₂|x|,其中能构成从M到N的函数的是(　　)
　A．①　　B．②　　C．③　　D．④
【答案】D
【解析】对于①、②,M中的2,4两元素在N中找不到象与之对应,对于③,M中的－1,2,4在N中没有象与之对应．故应选D.

4.已知函数的定义域为A,函数g(x)=1g(1+x)-1g(1-x)的定义域为B,则下述关于A、B的关系中,不正确的为（　　）
　A．　　B．A∪B=B
　C．A∩B=B　　　D．
【答案】D
得:-1＜x＜1,
∴A={x|-1＜x＜1}, ∴A=B.

【终极突破】

1.（2015山东文10）设函数,则（　　）.
　A.1　　B.7/8　　C.3/4　　D.1/2
【答案】D
【解析】
　　由题意,可得.
①当
②当
综上可知,b=1/2.故选D.

2.已知函数的定义域是R,则实数a的取值范围是（　　）
　A.　　　　　　　　 B.－12＜a≤0
　C.－12＜a＜0　　　　　　　D.
【答案】B
【解析】由a=0或可得－12＜a≤0.故选B.

3.已知则f（x）的解析式可取为（　　）
　A.　　B.　　C.　　D.
【答案】C
【解析】
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