2021年高考数学命题角度研究(229)

第九章   平面解析几何

第一节　直线的方程

一、考纲考情：1.在平面直角坐标系中，能结合具体图形，确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

二、核心素养形成：数学运算.

三、考查角度:主要通过直线方程的求法考查数学运算能力.

角度三　直线方程的应用

【典例剖析】

【典例】　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．

思路分析：利用截距式或点斜式设出直线l的方程，再利用基本不等式可求．

解析：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为x/a＋y/b＝1(截距式).因为l过点P(3,2)，所以3/a＋2/b＝1.因为1＝3/a＋2/b≥2[6/(ab)]^1/2，整理得ab≥24，所以S_△ABO＝(1/2)ab≥12. 当且仅当3/a＝2/b，即a＝6，b＝4时取等号．此时直线l的方程是x/6＋y/4＝1，即2x＋3y－12＝0.

[方法总结]求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

【冲关演练】

1．已知直线x＋a²y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是()

A．0            B．2              C.2^1/2            D．1              答案：D

解析：直线x＋a²y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和1/a，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋1/a≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a²y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.

2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．     答案：5

解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.所以|PA|·|PB|

≤(|PA|²+|PB|²)/2＝|AB|²/2＝(1²+3²)/2＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.