高中数学函数(4)

在前面讲授《函数》时，已经提到，函数的3个性质：单调性、奇偶性、周期性。本节从奇偶性的基本概念、特征入手讲授。

前提条件：奇/偶函数的定义域必关于原点对称。

奇函数定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数（逆命题也真）。在代数运算时用。图像特点：关于原点对称。在数形结合时用。

举例最简单的奇函数及其图像：

偶函数定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数（逆命题也真）。在代数运算时用。图像特点：关于y轴对称。在数形结合时用。

举例最简单的偶函数及其图像：

推论：

1、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0。

2、奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立，不能只是满足其中有限个特定的值。

3、奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件。

4、根据性质和图像特点可得：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。

5、在两个函数的定义域的公共范围内，有：

两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；

奇函数与偶函数的积函数是奇函数。

6、根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数（如常函数f(x)=0）、非奇非偶函数。其中后2种属于特例，考试遇到时只需要能举例即可。

例1、已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2+1/x，则f(-1)等于_______。

【解析】利用奇函数的性质f(-x)=-f(x)即可，f(-1)＝-f(1)＝-(1+1)＝-2

例2、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(x)，则函数的奇偶性是_______。

【解析】本题是抽象函数问题，是常考类型。部分学生看到此类题目非常头疼，其实即使不知道函数表达式，并不影响对奇偶性的判断，目标就是推导得出f(x)是满足f(-x)=-f(x)还是f(-x)=f(x)。充分理解奇偶性的定义，已知表达式有2个自变量，变换为1个自变量。途径：巧妙赋值，合理、灵活变形配凑。