高中数学------考点53 基本定理和坐标运算

发布于 2021-09-13 13:06 ，所属分类：高考数学学习资料大全

【基础回顾】

一、课本基础提炼

平面向量基本定理
　　如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ₁， λ₂，使.
　　其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

平面向量的正交分解
　　把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
平面向量的坐标表示.

　1.在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使，把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作，其中 x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．

　2.设，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)

平面向量坐标运算

　1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设，，则，．

　2．向量坐标的求法
　(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
　(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，.
　　平面向量共线的坐标表示
　　设=(x₁，y₁)，=(x₂，y₂)，其中，若

二、二级结论必备

　1.基底的不唯一性
　　只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

　2．向量坐标与点的坐标的区别
　　要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．

【技能方法】

1.平面向量基本定理及其应用
　　了解平面向量基本定理及其应用，理解概念中的关键字掌握平面向量的正交分解．
　　例1．如图，在△ABC中，，，则m=______，n=______；
　　
【答案】.
【解析】
　　根据题意，由于，从而有，，从而由平面向量基本定理可知
【点评】
　　本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量基本定理的运用.

2.平面向量的坐标运算
　　会用坐标表示平面向量的加法，减法，数乘运算.
　　例2.已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设.
①求；
②求满足的实数 m，n.
【答案】（1）(6，-42)；（2）m=n=-1.
【解析】
　　（1）由已知得，，，
　　 ∴=3(5，-5)+（-6，-3）-3（1,8）=(6，-42)；

　　（2）∵=(-6m+n，-3m+8n)，
　　∴.
【点评】
　　本题通过平面向量的线性运算的坐标表示，从而求解.

3.平面向量共线的坐标表示
　　掌握平面向量共线的坐标表示，理解用坐标表示两个平面向量共线的条件.
　　例3.已知向量=(-3，μ)与向量=(3，λ)平行，则λ+μ______.
【答案】 0.
【解析】由题意得，-3λ-3μ=0，∴λ+μ=0.
【点评】
　　本题利用向量共线的坐标表示，即可得到λ，μ所满足的关系式.

【基础达标】

1．已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量=(a+c，b)，=(b-a，c-a)，若，则角C的大小为（　　）
　　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】B
【解析】
　　∵两向量平行，
　　∴等价于(a+c)(c-a)=b(b-a)，整理为c²-a²=b²-ab，

　　∴ cosC=，

　　∴

2．若向量=(3，1)，=(m，m+1)，且，则实数m的值为（　　）
　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】A
【解析】
　　∵两向量平行，∴3(m+1)-m=0，∴ m=，故选A．

3．设向量=(m，n)，=(s，t)，定义两个向量之间的运算“”为，若向量=(1，2)，则向量等于（　　）．
　A．(-3，2)　　B．(3，-2)　　C．(-2，-3)　　D．(-3，-2)
【答案】D
【解析】
　　设向量=(x，y)，根据题意可得x=-3，2y=-4，解得x=-3，y=-2即向量=(-3，-2)，故选D．

4．已知向量，=(sinα，cosα)且与共线，则tanα=（　　）
　A．　　B．　　C．　　D．
【答案】C
【解析】
　　共线可知，
　　∴4sinα=3cosα，即tanα=

5．若向量,,,则下列说法中错误的是（　　）
　A.
　B．
　C．向量与向量的夹角为90º
　D．对同一平面内的任意向量,都存在一对实数k₁,k₂使得
【答案】D
【解析】
　　A中，

　　∴，B中，
　　
　　∴正确，C中,C正确，共线,是不能作为基底的，因此D不正确，故选D.

【能力提升】

1.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量，则向量(　　)
　A.(-7，-4)　　B.(7，4)　　C.(-1，4)　　D.(1，4)
【答案】A
【解析】
　　∵，

　　∴，故选A.

2.已知向量，，若，则x=（　　）
　A．4　　B．－4　　C．2　　D．-2
【答案】D
【解析】
　　∵，

　　∴-4=2x，x=-2故选D．

3.已知向量，，若与平行，则实数x的值是（　　）
　A．-2　　B．2　　C．1　　D．
【答案】D
【解析】
　　由，得，，

　　由已知得，3(1-x)-(1+x)=0

　　∴x=，选D．

4.设为单位向量，非零向量，x，y∈R，若．的夹角为，则的最大值等于______．
【答案】
【解析】
　　首先先求向量的模，，

　　∴，设，

　　∴，

　　∴当时，原式取得最大值

5.已知点A(-1，-1)和向量，若，则点B的坐标是______．
【答案】(5，8).
【解析】
　　设B(x，y)若，则(x+1，y+1)=3(2，3)，∴x=5，y=8，即B（5,8）.

【终极突破】

1.已知直角坐标平面内的两个向量，，使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成，则m的取值范围______．
【答案】m≠5.
【解析】
　　依题意可知为直角坐标平面内的一对基底，

　　∴不共线,当共线时,解得 m=5,

　　∴不共线时只需m≠5.

2.在△ABC中，AC=6，BC=7，cosA=，O的△ABC内心，若
，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为______.
【答案】
【解析】
　　由，

　　其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得点P的轨迹如图的阴影部分的面积，在三角形ABC中由余弦定理可得AB=5，∴，
　　又由，，

　　∴阴影部分面积.
　　

3.向量，若与平行，则实数m等于______．
【答案】
【解析】
　　∵向量，

　　∴，，又与平行，

　　∴．

4.已知向量，，且与共线，则x的值为______.
【答案】-2.
【解析】
　　，由与共线得2x=-(2-x)，解得x=-2．