高中数学------考点53 基本定理和坐标运算
发布于 2021-09-13 13:06 ,所属分类:高考数学学习资料大全
【基础回顾】
一、课本基础提炼
平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1, λ2,使.
其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
平面向量的坐标表示.
1.在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x,y,使,把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作,其中 x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标.
2.设,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若,则A点坐标为(x,y),反之亦成立.(O是坐标原点)
平面向量坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设,,则,.
2.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),.
平面向量共线的坐标表示
设=(x1,y1),=(x2,y2),其中,若
二、二级结论必备
1.基底的不唯一性
只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
2.向量坐标与点的坐标的区别
要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息.
【技能方法】
1.平面向量基本定理及其应用
了解平面向量基本定理及其应用,理解概念中的关键字掌握平面向量的正交分解.
例1.如图,在△ABC中,,,则m=______,n=______;
【答案】.
【解析】
根据题意,由于,从而有,,从而由平面向量基本定理可知
【点评】
本题主要考查了向量的线性运算,以及平面向量基本定理的运用.
2.平面向量的坐标运算
会用坐标表示平面向量的加法,减法,数乘运算.
例2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 设.
①求;
②求满足的实数 m,n.
【答案】(1)(6,-42);(2)m=n=-1.
【解析】
(1)由已知得,,,
∴=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42);
(2)∵=(-6m+n,-3m+8n),
∴.
【点评】
本题通过平面向量的线性运算的坐标表示,从而求解.
3.平面向量共线的坐标表示
掌握平面向量共线的坐标表示,理解用坐标表示两个平面向量共线的条件.
例3.已知向量=(-3,μ)与向量=(3,λ)平行,则λ+μ______.
【答案】 0.
【解析】由题意得,-3λ-3μ=0,∴λ+μ=0.
【点评】
本题利用向量共线的坐标表示,即可得到λ,μ所满足的关系式.
【基础达标】
1.已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量=(a+c,b),=(b-a,c-a), 若,则角C的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵两向量平行,
∴等价于(a+c)(c-a)=b(b-a),整理为c2-a2=b2-ab,
∴ cosC=,
∴
2.若向量=(3,1),=(m,m+1),且,则实数m的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵两向量平行,∴3(m+1)-m=0,∴ m=,故选A.
3.设向量=(m,n),=(s,t), 定义两个向量之间的运算“”为,若向量=(1,2),则向量等于( ).
A.(-3,2) B.(3,-2) C.(-2,-3) D.(-3,-2)
【答案】D
【解析】
设向量=(x,y),根据题意可得x=-3,2y=-4,解得x=-3,y=-2即向量=(-3,-2),故选D.
4.已知向量,=(sinα,cosα)且与共线,则tanα=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
共线可知,
∴4sinα=3cosα,即tanα=
5.若向量,,,则下列说法中错误的是( )
A.
B.
C.向量与向量的夹角为90º
D.对同一平面内的任意向量,都存在一对实数k1,k2使得
【答案】D
【解析】
A中,
∴,B中,
∴正确,C中,C正确,共线,是不能作为基底的,因此D不正确,故选D.
【能力提升】
1.已知点A(0,1),B(3,2),向量,则向量( )
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
【答案】A
【解析】
∵,
∴,故选A.
2.已知向量,,若,则x=( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【答案】D
【解析】
∵,
∴-4=2x,x=-2故选D.
3.已知向量,,若与平行,则实数x的值是( )
A.-2 B.2 C.1 D.
【答案】D
【解析】
由,得,,
由已知得,3(1-x)-(1+x)=0
∴x=,选D.
4.设为单位向量,非零向量,x,y∈R,若. 的夹角为,则的最大值等于______.
【答案】
【解析】
首先先求向量的模,,
∴,设,
∴,
∴当时,原式取得最大值
5.已知点A(-1,-1)和向量,若,则点B的坐标是______.
【答案】(5,8).
【解析】
设B(x,y)若,则(x+1,y+1)=3(2,3),∴x=5,y=8,即B(5,8).
【终极突破】
1.已知直角坐标平面内的两个向量,,使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成,则m的取值范围______.
【答案】m≠5.
【解析】
依题意可知为直角坐标平面内的一对基底,
∴不共线,当共线时,解得 m=5,
∴不共线时只需m≠5.
2.在△ABC中,AC=6,BC=7,cosA=,O的△ABC内心,若
,其中0≤x≤1,0≤y≤1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为______.
【答案】
【解析】
由,
其中0≤x≤1,0≤y≤1,可得点P的轨迹如图的阴影部分的面积,在三角形ABC中由余弦定理可得AB=5,∴,
又由,,
∴阴影部分面积.
3.向量,若与平行,则实数m等于______.
【答案】
【解析】
∵向量,
∴,,又与平行,
∴.
4.已知向量,,且与共线,则x的值为______.
【答案】-2.
【解析】
,由与共线得2x=-(2-x),解得x=-2.
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