高中数学------考点53 基本定理和坐标运算

发布于 2021-09-13 13:06 ,所属分类:高考数学学习资料大全




【基础回顾】

一、课本基础提炼

平面向量基本定理
  如果
是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1, λ2,使.
  其中,不共线的向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

平面向量的正交分解
  把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
平面向量的坐标表示.

 1.在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量
作为基底,对于平面内的一个向量,有且只有一对实数x,y,使,把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作,其中 x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标.

 2.设
,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若,则A点坐标为(x,y),反之亦成立.(O是坐标原点)

平面向量坐标运算

 1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
,则

 2.向量坐标的求法
 (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
.
  平面向量共线的坐标表示
  设
=(x1,y1),=(x2,y2),其中,若

二、二级结论必备

 1.基底的不唯一性
  只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量
都可被这个平面的一组基底线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.

 2.向量坐标与点的坐标的区别
  要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息.

【技能方法】

1.平面向量基本定理及其应用
  了解平面向量基本定理及其应用,理解概念中的关键字掌握平面向量的正交分解.
  例1.如图,在△ABC中,
,则m=______,n=______;
  

【答案】
.
【解析】
  根据题意,由于
,从而有,从而由平面向量基本定理可知
【点评】
  本题主要考查了向量的线性运算,以及平面向量基本定理的运用.

2.平面向量的坐标运算
  会用坐标表示平面向量的加法,减法,数乘运算.
  例2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 设
.
①求

②求满足
的实数 m,n.
【答案】(1)(6,-42);(2)m=n=-1.
【解析】
  (1)由已知得

   ∴
=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42);

  (2)∵
=(-6m+n,-3m+8n),
  ∴
.
【点评】
  本题通过平面向量的线性运算的坐标表示,从而求解.

3.平面向量共线的坐标表示
  掌握平面向量共线的坐标表示,理解用坐标表示两个平面向量共线的条件.
  例3.已知向量
=(-3,μ)与向量=(3,λ)平行,则λ+μ______.
【答案】 0.
【解析】由题意得,-3λ-3μ=0,∴λ+μ=0.
【点评】
  本题利用向量共线的坐标表示,即可得到λ,μ所满足的关系式.

【基础达标】

1.已知△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量
=(a+c,b),=(b-a,c-a), 若,则角C的大小为(  )
  A.
  B.  C.  D.
【答案】B
【解析】
  ∵两向量平行,
  ∴等价于(a+c)(c-a)=b(b-a),整理为c2-a2=b2-ab,

  ∴ cosC=


  ∴


2.若向量
=(3,1),=(m,m+1),且,则实数m的值为(  )
 A.
  B.  C.  D.
【答案】A
【解析】
  ∵两向量平行,∴3(m+1)-m=0,∴ m=
,故选A.

3.设向量
=(m,n),=(s,t), 定义两个向量之间的运算“”为,若向量=(1,2),则向量等于(  ).
 A.(-3,2)  B.(3,-2)  C.(-2,-3)  D.(-3,-2)
【答案】D
【解析】
  设向量
=(x,y),根据题意可得x=-3,2y=-4,解得x=-3,y=-2即向量=(-3,-2),故选D.

4.已知向量
=(sinα,cosα)且共线,则tanα=(  )
 A.
  B.  C.  D.
【答案】C
【解析】
  
共线可知,
  ∴4sinα=3cosα,即tanα=


5.若向量
,,,则下列说法中错误的是(  )
 A.

 B.

 C.向量
与向量的夹角为90º
 D.对同一平面内的任意向量
,都存在一对实数k1,k2使得
【答案】D
【解析】
  A中


  ∴
,B中
  
  ∴
正确,C中,C正确,共线,是不能作为基底的,因此D不正确,故选D.

【能力提升】

1.已知点A(0,1),B(3,2),向量
,则向量(  )
 A.(-7,-4)  B.(7,4)  C.(-1,4)  D.(1,4)
【答案】A
【解析】
  ∵


  ∴
,故选A.

2.已知向量
,若,则x=(  )
 A.4  B.-4  C.2  D.-2
【答案】D
【解析】
  ∵


  ∴-4=2x,x=-2故选D.

3.已知向量
,若平行,则实数x的值是(  )
 A.-2  B.2  C.1  D.

【答案】D
【解析】
  由


  由已知得,3(1-x)-(1+x)=0

  ∴x=
,选D.

4.设
为单位向量,非零向量,x,y∈R,若. 的夹角为,则的最大值等于______.
【答案】
【解析】
  首先先求向量的模,


  ∴
,设

  ∴


  ∴当
时,原式取得最大值

5.已知点A(-1,-1)和向量
,若,则点B的坐标是______.
【答案】(5,8).
【解析】
  设B(x,y)若
,则(x+1,y+1)=3(2,3),∴x=5,y=8,即B(5,8).

【终极突破】

1.已知直角坐标平面内的两个向量
,使得平面内的任意一个向量都可以唯一分解成,则m的取值范围______.
【答案】m≠5.
【解析】
  依题意可知
为直角坐标平面内的一对基底,

  ∴
不共线,当共线时,解得 m=5,

  ∴
不共线时只需m≠5.

2.在△ABC中,AC=6,BC=7,cosA=
,O的△ABC内心,若
,其中0≤x≤1,0≤y≤1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为______.
【答案】

【解析】
  由


  其中0≤x≤1,0≤y≤1,可得点P的轨迹如图的阴影部分的面积,在三角形ABC中由余弦定理可得AB=5,∴

  又由,


  ∴阴影部分面积
.
  


3.向量
,若平行,则实数m等于______.
【答案】

【解析】
  ∵向量


  ∴
,又平行,

  ∴


4.已知向量
,且共线,则x的值为______.
【答案】-2.
【解析】
  
,由共线得2x=-(2-x),解得x=-2.

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