2021全国高中数学联赛试题自己做的解析

今天刚刚考完一年一度的全国高中数学联赛，我作为一个退役一年的数学竞赛生，在看到题目后试着做了一下，好像送分题有亿点点多？

先是试卷

今年呢感觉整体难度下降，例如一试的前十道题几乎属于高考水平，甚至解析几何比高考都简单，这和去年形成了巨大的反差（可能是去年解析几何太恶心了今年放点水？）。包括第八题也不算难，答案的方法我没想到，我就采用了最朴素的分类枚举法，其实没有多麻烦，大致十分钟就做好了。

但是11题个人感觉还是很难的，可能有很多省一省队大佬在这道题上只有结论分甚至是零分...考完后从一些考生那里了解到他们采用了建系爆算的方式，但是大多数列好式子就望而却步了。

后来和一些考生交流发现：不少人战略性放弃11去回头做第8题，这次可能是一个很好的策略。
先放一个我写的一试解答吧：方法上可能我不少题目都和答案的路子不同，但是应该没有什么错误

至于一试的时间分配，大概今年的题前七个25分钟肯定没问题，9和10更是出乎意料的白给最多15分钟肯定够了，11爆难题不如回头做8，所以可能大部分人一试都在100分左右。

由于11题我并没有什么好的想法，大概率我在考场上是做不出来的，所以就不写它的解答了，这里11题直接引用数海漫游林老师的解析

接下来是二试，其实今年的二试个人感觉也是简单了不少，可能是因为我去年是在考场上而今年是在学校宿舍作答的缘故吧，毕竟考场上人的状态不同于场下，难免紧张，然后脑子就一片空白

下面是我写的二试解析，做完后一对答案发现前三题似乎没有一个和标答思路一致......如果存在错误欢迎指出

前三题感觉都是送分的，整体做下来大致就一小时，不过据说大家的作答情况也很好，基本上竞赛圈的大佬前三题都至少做出来俩。

第一题对阶乘有点感觉就行，最大的那个nk，如果它太大了那么其他的n再怎么大配上再大的实数ak都无法弥补nk那一项，然后题目就做完了，40分轻轻松松。

第二题几何，比去年难一些可能？毕竟前两年的被誉为中考题。我采用的是半几何半计算的方式，先利用俩显然的相似关系结合导角来把P,Q两点的位置锁定下来，然后导完相似有关的比例后发现似乎我们需要证明AD=CQ，怎么证呢？这个Q点好烦啊CQ这么一条线段没法参与导比例，那就正弦定理+余弦定理开始计算吧！计算量还是很一般的，40分到手。

第三题数论据说是陈题，我本人之前没有做过原题，目前也没有见到原题的出处，但是印象中在小蓝本数论里面有和它很像的题，大概是“阶及其应用”那一章吧。没想到这题分类讨论证明奇数成立都有10分？！偶数的时候也不难，处理手段都是很经典的，也没有涉及什么高深的知识。就是分类讨论，n-1是素数的时候借助欧拉定理就结束了；n-1是合数的时候将2^(n-1)分解一下，此时根据直觉如果题中问的式子是一个素数？那肯定是一个很大的素数。但是我们分解后发现这个“很大的素数”还不及“左边分解出来的一个因子”大，这样就差不多矛盾了。这个50分还是挺好拿的。

还是要说一下：第四题我太菜了不会做，所以就引用一下2019浙江高联全省第一名大佬的解答。

可能第一题我写的过于草率了，所以下面补一个我完整的解答（上面第一题解析只是一个大概，其实思路一样就是略去了一些步骤）

第四题，来膜拜一下浙江大佬吧

官方标答这里就不放了，基本上百度随手一搜就有。

关于分数线，估计像浙江，上海这样的强省基本省队都是100+130或更多，所以省队线可能在240左右

然后像北京应该会稍低一些，预测省队220省一180

祝各位竞赛生都考出好成绩~考好的CMO冲冲冲，没考好的高三党也不要气馁，努力为高考奋斗吧！