数学思维刍议

思维，是指人的大脑借助于个人已知的知识或经验，对客观事物做出直接或间接的反应、对未知事物进行合理推测的认知活动。随着人们对思维的深入研究，根据其表现形式的不同，思维被细分成不同种类，比较常被提及的包括逻辑思维、抽象思维、发散思维、创新思维、数学思维等等。数学思维，就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式，人们通常也把它叫作数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，比如转化与化归，从一般到特殊，特殊到一般，函数（或映射）的思想，等等。一般来说，数学能力强的人，基本有两种能力，一是联想力，二是数字敏感度。

数学思维，还可以通俗地理解即为数学的一般定论、公式或模型。数学思维能力，是通过运用已知的数学理论和观点，去认识、理解、解读事物及问题，并开展想象、发现规律、解决问题的能力。形成良好的数学思维能力，将会对自身的学习、工作和生活产生积极的影响。其一，数学思维具有灵活性和创造性，数学思维能力的培养能帮助自己提升学习兴趣和学习效率；其二，数学思维具有广泛性和深刻性，数学思维能力的培养能促进自身身心、德行、体智的全面健康发展；其三，数学思维具有组织性和批判性，数学思维能力的培养能帮助自身梳理正确的人生观、价值观。

下面，我们通过一个例子来体会一下数学中的无限思维。

希尔伯特在谈到“无限大数”的性质时讲了一个故事：一家旅馆内设无穷多个房间（首先要接受无穷多个房间这样一个假设）。有一天，所有的房间都住了客人（即旅馆已经住满了）。这时有一位新客，想入住该酒店．如果是现实生活中的情形，房间数量有限，老板当然会说：“对不起，已经住满了。”可是旅馆主人的回答是：“不成问题！”那么他是怎样解决问题的呢？

我们可能想到的只有现实生活中常见的将一间分成两间，腾出一个沙发等非数学问题的解决办法，几乎无人从无穷多个房间的角度去思考（有限思维限制了我们的想象）。而该问题的答案正是基于“无穷多”这一特点。事实上，旅馆老板的答案是：将1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号……依此类推，每一间的旅客都往后移动一间，就空出了1号房间。

有不少同学会提出质疑：最后一间的旅客怎么办？如此，自然地引入本问题的答案，说明无穷和有限的最本质区别，即没有最后一项。因此，所有与“最后一间”相关的问题，前提都是不正确的。

进一步，能否腾出任意（有限）间房？答案当然是肯定的，方法同上。

最后再提一个问题：能否腾出无穷多个房间？

有了前面的铺垫，有人也许已经能够想到让第n号房间的旅客移到第2n号房间的方法，或者类似地n号移到（2n+1）号，或者n号移到3n号，等等。

数学拥有许多分支，每一个分支都有相应的数学思维，从而可以帮助人们解决各种实际问题，下面列出几个比较常见的。

1、线性代数：如何将研究对象形式化

线性代数是数学学科中一门较为基础的数学课程，具有非常强的实用性，是在社会生产实践中逐渐产生并发展起来的，已经被广泛应用在工程技术、物理、经济等领域。线性代数既是如今研究得比较火热的人工智能的基础，同时也是与现代数学有关联的众多学科的基础。例如，量子力学和图像处理表面上是量与矩阵的应用，实质上还是应用线性代数提供的一些计算方式和方法。通过利用这些线性代数的相关知识，就可以较好地将一些比较复杂的问题拆分成比较简单的问题。

2、概率论：如何描述统计规律

概率论作为一门非常重要的数学基础，在自然科学、社会科学的研究过程中得到了非常广泛的应用。正是由于目前的世界是信息爆炸的世界，这就使得目前有越来越多的研究人员对这些数据的随机性进行研究，而在这个过程中一般会使用到概率论。

3、数理统计：如何以小见大

目前的情况下，数理统计也是被经常用到的一种数学。同时，目前处于大数据时代，这就使得对各种大数据进行分析是非常有必要的，同时在进行数据分析的过程中，也会常常使用到机器学习的方法。而在数据处理的过程中，这些基础理论的应用才能更好地对这些数据处理的结果进行更加正确的解释。而从另一个方面来讲，数理统计其实也是一种反向进行的概率论。其在机器学习中常常用来对错误率进行相关的估计。

4、最优化理论：如何找到最优解

在目前的人工智能的研究过程中，最主要的就是解决一些优化方面的问题，找到一个最优化的解，即在一些比较复杂的情况下对整体情况进行更加详细的分析和判断，从而使得这些复杂情况下所产生的各种问题都能够被较好地解决掉。所以，最优化理论确实是整个人工智能计算中非常重要的一个部分。而这个理论所研究的主要情形就是在没有特殊约束的情况下，对目标函数进行求解，并找出其中的最优值，这样才能让目标函数达到最优化。而在最优化过程中，人们最常用的方法就是使用线性规划、动态规划、神经网络等进行相应的求解。

5、信息论：如何定量度量不确定性

信息论是目前被研究比较多的一门学科。而根据目前这些年的研究可以看出，目前的客观世界中最本质的一种属性，便是这个世界中所存在的不确定性。很多事情都只能使用概率模型进行模拟，而不能准确地判断，这就使得信息论能够得到进一步的发展。而对于信息的可测量性，其实是可以与信息的不确定性进行联系的，这个在概率论中主要是使用“信息熵”的概念来阐述的。总而言之，信息论主要就是对各种不确定的事情进行解决。在解决一些分类问题的过程中往往会用到信息增益的概念。而在对这些问题进行汇总的过程中，往往采用的是最大熵原理。

6、形式逻辑：如何实现抽象推理

根据定义可以发现，较为理想的人工智能所具有的学习能力应该是属于比较抽象的，而不是解决某一种具体的问题，一般情况下，需要具有更加强大的总结能力，同时需要具有一定的推理能力。

而对于人工智能而言，最基础的内容便是其中的形式逻辑，而这个取决于在很多的传统过程中，将对符号进行逻辑运算定义为一种认知的过程。而在这个过程中，也使得目前所认定的一种在人工智能中所涉及到的基本理念遭受到了一定的质疑和挑战，这就使得人工智能中会更多地对“认知的本质是计算”的概念进行进一步的考量、思考和探索。

结  语

数学是一切科学的基础，数学思维是现代科学思维的标准模式，可以说人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力地支撑着。在数学解决问题的思维中，可用已知的数学模式规律或者方法去检验实际问题解决过程的正确性，正是数学思维使得我们对未知的世界能够大胆探索，解决更多的未知问题，推动了社会的诸多方面不断向前发展。

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