2021年高考数学命题角度研究(236)

第九章   平面解析几何

第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、考纲考情：1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

二、核心素养形成：数学运算.

三、考查角度：主要通过直线与圆的位置关系判断切线、弦长问题，考查数学运算能力.

角度一　直线与圆的位置关系的判断

【自主演练】

1．(2019·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x²＋y²－2x＋2y－7＝0的位置关系是(               )

A．相切　 B．相交   C．相离   D．不确定  答案：B

解析：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由x－y＝0和x＋y＋2＝0，解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)²＋(－1)²－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x²＋y²－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x²＋y²－2x＋2y－7＝0相交．

2．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足直线ax＋by＋2c＝0与圆x²＋y²＝4相离，则△ABC是()

A．直角三角形   B．锐角三角形  C．钝角三角形    D．以上情况都有可能  答案：C

解析：由已知得圆心(0,0)到直线ax＋by＋2c＝0的距离d＝|2c|/(a²＋b²)^1/2＞2，所以c²＞a²＋b²，在△ABC中，cos C＝(a²＋b²－c²)/2ab＜0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形．

3．(2019·福州高三质检)“b∈(－1,3)”是“对于任意实数k，直线l：y＝kx＋b与圆C：x²＋(y－1)²＝4恒有公共点”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件  答案：A

解析：圆C：x²＋(y－1)²＝4与y轴的交点坐标为(0，－1)和(0,3)，对于任意实数k，直线l与圆C恒有公共点⇔b∈[－1,3]．因为(－1,3)[－1,3]，所以“b∈(－1,3)”是“对于任意实数k，直线l与圆C恒有公共点”的充分不必要条件．故选A.

【技法体验】 判断直线与圆的位置关系的2大策略

1．若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．

2．若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．