2021年高考数学冲刺对点集训(2A)

第一章 集合与常规用逻辑用语

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、考纲考情：1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

二、核心素养养成：逻辑推理。

三、考查角度：主要以函数、数列、立体几何、解析几何、复数、向量等为载体考查逻辑推理能力.

A组——基础保分练

1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)答案：D

A．若x＋y不是偶数，则x，y都不是偶数B．若x＋y是偶数，则x，y不都是偶数

C．若x＋y是偶数，则x，y都不是偶数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数

解析：命题的逆否命题为否定原命题的条件和结论并交换条件和结论的位置得到的命题，所以命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选D.

2．已知命题“若x>1，则2^x<3^x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是(　　)

A．0　　B．1C．2D．3答案：B

解析：原命题“若x>1，则2^x<3^x”，则它的逆命题：若2^x<3^x，则x>1，x＝1时也满足2^x<3^x，∴逆命题是假命题；否命题：若x≤1，则2^x≥3^x，由逆命题与否命题真假性相同知，否命题是假命题；逆否命题：若2^x≥3^x，则x≤1，为真命题．故选B.

3．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a>b＋1 B．a>b－1C．a²>b²D．a³>b³答案：A

解析：a>b＋1⇒a>b，当a＝2，b＝1时满足a>b，但a＝b＋1，即a>b推不出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件，故选A.

4．已知a，b都是实数，那么“a^1/2>b^1/2”是“ln a>ln b”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B

解析：由ln a>ln b⇒a>b>0⇒a^1/2>b^1/2，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a^1/2>b^1/2，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立．

5．下列命题中正确的个数为(　　)

①“若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；

②“若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；

③“奇函数的图像关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定．

A．1 B．2C．3 D．4答案：B

解析：①逆命题为“若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0”，显然错误，故①错误；②逆命题为“若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，正确，根据原命题的逆命题与否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图像关于原点对称”正确，根据原命题与逆否命题的等价性知原命题的逆否命题正确，故③正确；④“每个正方形都是平行四边形”正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误，故④错误．正确的个数是2，故选B.

6．设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，则“|q|＝1”是“S₆＝3S₂”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C

解析：若q＝1时，S₆＝6a₁＝3S₂＝3·2a₁＝6a₁，q＝－1时，S₆＝3S₂＝0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|＝1”是“S₆＝3S₂”的充要条件，故选C.

7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B

解析：当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B.

8．设A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分答案：C

解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

9．已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m²y＝0互相垂直，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A

解析：由题意得直线x＋m²y＝0的斜率是－1，所以－1/m²＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．

10．下列选项中，说法正确的是(　　)

A．若a>b>0，则ln ab

B．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1

C．命题“任意n∈N_＋，3ⁿ>(n＋2)·2^n－1”的否定是“任意n∈N_＋，3ⁿ≥(n＋2)·2^n－1”

D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 答案：D

解析：∵函数y＝ln x(x>0)是增函数，∴若a>b>0，则ln a>ln b，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；命题“任意n∈N_＋，3ⁿ>(n＋2)·2^n－1”的否定是“存在n∈N_＋，3ⁿ≤(n＋2)·2^n－1”，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x²－2x－3在区间[－2,4]上的图像连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，D正确．

11．命题“若x≥1，则x²－4x＋2≥－1”的否命题为_____．

答案：若x<1，则x²－4x＋2<－1

解析：命题“若x≥1，则x²－4x＋2≥－1”的否命题为：若x<1，则x²－4x＋2<－1.

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n＝Aqⁿ＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{a_n}为等比数列”的______条件．

解析：若A＝B＝0，则S_n＝0，数列{a_n}不是等比数列．如果{a_n}是等比数列，由a₁＝S₁＝Aq＋B得a₂＝S₂－a₁＝Aq²－Aq，a₃＝S₃－S₂＝Aq³－Aq²，∴a₁a₃＝a22，从而可得A＝－B，故“A＝－B”是“数列{a_n}为等比数列”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

13．已知集合A＝{x|1/2<2^x<8，x∈R}，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．答案：m>2

解析：因为A＝{x|1/2<2^x<8，x∈R}＝{x|－1<x<3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A不是B的子集，所以m＋1>3，即m>2.

14．已知集合A＝{y|y＝x²－3x/2＋1，x∈[3/4，2]}，B＝{x|x＋m²≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解析：y＝x²－3x/2＋1＝(x－3/4)²＋7/16，因为x∈[3/4，2]，所以7/16≤y≤2，所以A＝{y|7/16≤y≤2}．由x＋m²≥1，得x≥1－m²，所以B＝{x|x≥1－m²}．因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，所以1－m²≤7/16，解得m≥3/4或m≤－3/4，故实数m的取值范围是(－∞，－3/4]∪[3/4，＋∞)．

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