滨州市高中数学名师工作室2021年4月读书笔记一

向量法解题中的空间想象力

——读章建跃《立体几何教学中的几个问题》笔记

滨州市第一中学 岳艳红

在立体几何教学中，对课标强调用向量法解决立体几何问题,这对培养学生的空间想象能力会不会造成不利影响颇为困惑。读了章建跃教授的《立体几何教学中的几个问题》一文，我豁然开朗。

首先，从数学的内在逻辑看,立体几何的基本线索中有一条是从综合法到向量法。

综合法:在通过实验归纳发现空间性质的基础上,用演绎法以逻辑推理去证明所发现的性质,探索新的知识,并用公理化思想将各种几何性质系统化，组成逻辑严密的欧氏几何学;

向量法:分析图形的几何特征,明确问题;用向量的语言刻画这些特征和问题,转化为向量问题;通过向量运算解决问题;对所得结果给出几何解释,从而解决几何问题。

这就决定了在立体几何的教学中向量法是不可回避的，之所以困惑，还是对向量法认识不够全面，理解不够透彻。

其次，向量概念的要素是“大小”和“方向”,“大小”与综合几何的内涵一致,而“方向"则是它独有的。因此,向量法的本质首先是用符号表示方向,这是非常重要的。向量集数与形于一身,向量运算既是数的运算,也是图形的运算,根据图形列出向量等式,使计算与图形融为一体,这是体现向量法解题特点的关键。立体几何中,线面位置关系的主题是平行与垂直,其本质是方向的关系:另外,我们用角度来定量刻画线面的位置关系,而角度就是度量两个方向差异的量。所以,刻画直线、平面的位置关系时“方向”是基本要素;相应地,刻画方向的量,即直线的方向向量和平面的法向量,就具有很重要的基础性地位。

最后，因为方向相同大小相等的两个向量相等,所以向量具有“自由性”，我们可以根据解决问题的需要将向量任意移动,所以“向量几何是不依赖于坐标系的解析几何”，平面解析几何要“先用平面者几何眼光观察,再用坐标法解决”。同样的,向量法也要以对立体图形结构特点(组成要素的关系)的分析为基础。向量法的第一步是用向量表示几何元素“表示"合理才能保证后续运算的简捷。“合理表示”的本质是准确反映立体图形的特征,这要以正确把握图形结构特征为基础，这当然是空间想象力的直接反映。

当我们教师对向量法认识准确了，在教学中才会不急不躁，按部就班去推进。没有引入空间向量时，着重训练综合法，从直观想象，到逻辑证明。引入空间向量以后，也要依托于向量的几何属性，依然从直观想象入手，再到逻辑证明，同时依靠数学运算简化证明过程。向量在立体几何中的应用，充分发挥了它是几何与代数桥梁的作用。我们在教学中不能只把重点放在最后一步的数学运算上，而要整体去看待向量法的参与，整个过程依然不改变几何问题的几何属性。

在以往的教学中，学生们在建系、选择法向量时，过程简单，甚至直接省略。其根本原因就是教师对建系和选择法向量的重要性认识不够，忽视了向量法首先是图形运算，然后才是数的运算。

对于教师来说，教学不能凭感觉、凭经验，在教学中遇到的问题都要到找出其根源，很多时候是教师本身对教材、对知识本身理解不够或不准确，当我们能站在高处看教材，看教学，可能好多困扰我们、困扰学生的问题都会迎刃而解，我们的教学质量也能有一个较大的提高。

高起点，低落点，例说通过数学解题培养学生的思维能力

沾化二中 许彩霞

哈尔莫斯说：数学的真正组成部分应该是问题和解，解题才是数学的心脏。波利亚说：问题是数学的心脏，掌握数学就意味着善于解题。罗增儒说：数学学习中发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动。章建跃教授说：不仅数学教育要“以解题为中心”，任何学习都要“以解题为中心”--有“问题”才需要学习，解题过程就是学习新知、发展智力、提高能力的过程，当然也是“学会解题”的过程。2017年和2020年版中强调要关注学生数学核心素养，“四基”、“四能”以及良好的思维品质和学习习惯的培养，但是最终是通过考试来考查目标的达成。所以，数学教学一定离不开数学解题教学。那么如何通过解题发展学生的思维，培养学生的相应素养和能力呢，笔者就导数中构造函数的问题做了一些尝试，以下是课堂实录。

题目1 已知函数f(x)的定义域是R，其导函数为f^’(x)。若f^’(x)-3<0恒成立，f(-2)=0,则f(x)-3x<6的解集为______________.

师: 回顾课本内容，看到f^’(x))-3<0这样的形式应该先联想函数的哪种运算的导数？

生：函数差的导数公式，即（f(x)-g(x)）^’=f^’(x)-g^’(x).

师：为什么不是商的导数？

生：商的导数中既有f^’(x)，还有f(x).

师：什么时候联想和差，什么时候是积商？

生：f^’(x)和f(x)都有时考虑积商的导数，加法是积，减法是差；只有f^’(x)则考虑和差的导数。

师：具体的公式同学们默写一遍。

师：通过正向联想，反向接头，最终可以构造哪个函数解出不等式的解集？

生：通过分析由f^’(x)-3<0，可能构造函数g(x)=f(x)-3x.再看结论f(x)-3x<6，可把结论变形为f(x)-3x-6<0.所以，结合已知和未知，最终可以构造g(x)=f(x)-3x-6。已知g(x)在R上单调递减，又因为g(-2)=2,所以，原不等式的解集是-2到正无穷大开区间。

师：回顾刚才的解题过程，总结解决了什么题型？用到了哪些知识？用到了哪些解题方法？用到了哪些思想方法？

生：题型是通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，得到不等式的解集。用到的知识：函数和差积商的导数公式。解题方法是正向联想反向接头的分析综合法。用到的思想方法是转化化归思想和函数思想。

题目2 已知f^’(x)是函数f(x)的导函数，对任意的实数x，都有f^’(x)>f(x)且f(1)=e，则f(lnx)>x的解集是______________

师：通过题目1的分析，思考2的解法。

生：正向联想：由f^’(x)>f(x)得f^’(x)-f(x)>0,然后联想商的导数公式，（f(x)/g(x))`=[f^’(x)g(x)-f(x)g^’(x)]/g²(x),对比这两者不难发现只要找到一个函数g(x)满足g(x)=g^’(x),则可以判断函数h(x)=f(x)/g(x)的单调性。又因为（e^x）^’=ex，所以构造h(x)=f(x)/e^x，

必有h^’(x)=[f^’(x)ex-f(x)e^x]/e^2x>0,故h(x)=f(x)/e^x为R的增函数。反向接头：看到f(lnx)联想h(lnx)=f(lnx)/x,故解f(lnx)>x只需解

[f(lnx)/x]>1.又因为h(1)=[f(1)/e^x]=1,所以结合h(x)的单调性不难解的原不等式的 解集是1到正无穷大开区间。

为使数学教学成为“有思想的教学”，成为提高思维能力的舞台，必须坚持“过程与结果并重”。在数学解题教学的过程中要做到善于联系教材中基本概念和性质，体现基础知识的联系性，解题方法要自然，具有自我生长的能力，引导学生学会思考问题，培养其思维能力。避免题型化教学的误区，看似高大上的问题，其解题方法与解题策略就是源于教材。在这种高起点，低落点的刺激中，促使学生注重“四基”，培养“四能”，形成良好的思维方式。

在新的课改下，在新的高考背景下，只是题型教学已远远不能跟上时代的要求，通过刷题在数学上取得好成绩的时代已经成为过去。我们的每节课，每个问题都要关注学生的全面发展，更要能交给学生终身收益的东西，这对于我们每一位数学老师而言都是一次很大的挑战，我们只能迎难而上，敢于尝试，在我们的课堂上做足功课，才能无愧于我们的学生、家长和社会的重托。

读章建跃基于课堂转型深化基础教育教学改革

博兴一中 项福东

高考数学学科内容改革的基础2014年9月国务院颁布实施意见中,明确提出深化高考内容的改革方向:依据高校人才选拔要求和国家课程标准,科学设计命题内容,增强基础性,综合性,着重考查学生独立思考和应用所学知识分析问题,解决问题的能力.基于现状,教师代替学生思维或学习行为必需得转变,,由”授习”转化为”学习”型课堂.

推进课堂实施变革,要努力做到目标有层次,路径有指导.要设置学习目标,,根据不同层次设置不同层次的目标.根据学生实际分成三层目标,目标概括几点,一是学生自己自主达成的目标;二是涉及学科核心素养,大多数学生能达成相关目标的拓展性目标;三是学有余力的学生自己能达成的目标,就是挑战性的目标.

在课堂教学中,要充分留给学生足够时间,促进学生深度学习,给学生充分安静思考问题的时间和空间,可以独立思考也可以合作探究.根据教学实际,创设生动,形象,思辨的情景,对学习主体予以有效的激发,更关注学生的学习体验,不要急功近利,不要为了教学任务而教学,更多关注学生的效果.学习应该是一种带有反思色彩的智慧活动,尤其是数学学科.教学活动应该让学生能够应用已有的经验理解或评价当前所学的内容,进一步影响学生在课堂内的思维活动,形成新的知识.在课堂上,教师少讲,要充分发挥学生学习的主动性和积极性,根据学生自己的实际情况,结合教师的指导,探索思考,自主选择.强调以学生为中心尊重学生的身心发展规律,以发展学生的主体性和潜力为教学目标.强调课堂有"静"变"动",强调由”教”的课堂变为”学”的课堂.

同时更要合理安排好教学任务,任务合理,才能达成后续学习的有效性.课堂任务包括课前,课内,课后,.学生养成合理的学习习惯,多思考,多总结.

关于信息技术在教学中的一点体会

惠民县第二中学 刘加加

数学教学过程，事实上就是学生在教师的引导下，对数学问题的解决方法进行研究，探索的过程，继而对其进行延拓，创新的过程。于是，教师如何设计数学问题，选择数学问题就成为数学教学活动的关键。而问题又产生于情境，因此，教师在教学活动中创设情景就是组织课堂教学的核心。现代多媒体信息技术如网络信息，多媒体教学软件等的应用为我们提供了强大的情景资源。

例如：我在《平面向量的基本概念》及《平面向量的坐标表示》的教学中，利用Powerpoint制作动态的平面向量课件，学生通过探索，发现了平面向量的基本概念，深刻的理解了平面向量的坐标表示的意义和作用。在讲解与《空间四边形》有关的问题时，如果只利用模型让学生观察，在黑板上作出空间四边形的平面直观图，大部分学生在课后解决相关的问题的时候，总自然而然的认为空间四边形两条对角线是相交的。我在教学中利用三维立体几何画板导入基本图形，现场制作旋转运动的空间四边形图形，现场添加线条，在旋转运动过程中让学生感受空间立体图形的形象，培养学生的空间观察和思维能力，从而使他们在观察过程中留下空间四边形两条对角线不相交的深刻印象，在解决其它有关问题时不致出错，同时学生在这个过程中发现了异面直线的概念，为后面的《异面直线》的教学奠定了基础。由此可见，多媒体信息技术创设情景产生的作用是传统教学手段无法比拟的。

高效课堂之探究式教学

山东省无棣第一中学 李春梅

探究式学习是指在教师指导下，学生自主地发现问题、研究问题，获得知识、技能、技巧的学习过程。

通过学生自主参与获取知识的过程，掌握研究问题所必须的探究未知的积极态度，引导学生以类似科学研究的方法去获得知识和应用知识。它具有一种民主教学的思想，改变了过去那种传统的“接受式教学”的模式，而代之以一种师生平等、民主、教学相长的新型师生关系。

同时，在新型的数学课堂教学中，教师应逐渐从“威”转“亲”，从以往的结论式教学转变为启发式，与学生建立新型的师生关系；教师要摆正自己的位置，多给学生学习方法，少给结论，在学习中应充当“引导员”和“导游”的角色；教师必须加强自身修养，既具备广博的知识又具备独立的思想，“不要把自己变成书橱，要用自己的眼睛去读数学教学这一部书”。

下面谈一下我曾经所在的一个课题小组在数学课堂教学中尝试开展探究式学习的一点体会。

一、“设疑激趣”是学生探究式学习的源泉。

探究就是探讨研究，实施研究必须具有研究的欲望，探究欲是一种内在的东西，就是对事物的兴趣。教学中教师提出问题或学生发现问题——学生交流讨论——解决问题——教师检测评价（总结）”

它操作起来比较简单。从高中的学习特点来看，这应作为探究式教学的一般模式。显然，教师的提问在这个过程中有着非常重要的作用。教师通过提问引导学生自己对历史课程产生探究的兴趣，主动思考，成为课堂的主体。使用这一方法时有以下经验可供借鉴：

1.注意提问的语气。教师提问的语气应注意带有感情色彩，引起学生的想共鸣，引导学生进入思考的思维中，，激发学生思维的灵感。

2.提问应精辟，重点突出。一节课45分钟，不能问许多问题，思考容量太大易引起学生的倦怠。精编问题，引导学生进入重点难点，即本课教学内容的核心，这样也可给学生较充分的时间探究讨论。

3.提问应注意深度。教师首先要明确教材到底要挖多深，做到心中有数，符合教学大纲的要，超纲的不宜多挖。

4.提问应难易适中。提问前应做好知识铺垫，给学生以思考问题的知识基础。这样，学生才能有处可想，有感可发。

5.允许学生走入“误区”。引导学生大胆冒险，敢于犯错。尤其要注意引导学生正视自己的探究之误。要善于以“错误案例”催开学生的创造之花，对学生的错误应给与真心的温暖的微笑，耐心的引导、暗示、提醒等，促使学生继续思考，认清错源，把改进的机会留给学生自己。

二、“数学实验”、导演情景剧是探究式学习的前提.

相比于第一种模式，它要求有更高的课堂掌控能力和一定的编导能力。在这一模式中，学生表演、阅读、思考的积极性非常高。由于这种模式是一定程度上的再现历史，它使数学脱离了呆板的教科书变的活灵活现，仿佛历史就在我们身边，我们就置身于数学海洋之中，所以在学生的脑海中印象深刻。

探究式学习是一种有利于终身学习、发展学习的方式，作为一线教育者更愿看到更多的教师在这条道路上不断的开拓创新，让学生的青春之花在数学课堂中尽情绽放，让学生在数学课堂中收获知识的同时也收获了能力和快乐。

教育随想

知行中学侯继美

周国平先生在《让教育回归人性》这本书中，有这样一段话：在论教育的名言中，我特别喜欢这一句俏皮话：忘记了课堂上所学的一切，剩下的才是教育。那么，那个应该剩下的配称为教育的东西是什么呢？依我看，就是两种能力，一是快乐学习的能力，二是自主学习的能力。教育的目标，第一要让学生喜欢学习，对知识充满兴趣，第二要让学生善于学习，在知识面前拥有自由。正如你永远无法叫醒一个装睡的人，教师也无法教好一个不想学习的学生。因此，急需解决的问题不是教师如何教，而是如何让学生学的问题，即“let learn!”。

一、解决学习动机问题，体现数学的育人功能。

到了高三很多学生发生了很大的改变，不是高一、高二时常常挂在嘴

边的“我不会”，而是“我试试”，很多孩子，即使数学基础很差，也开始学数学了，哪怕是从最基本的集合、复数开始，也不怕道阻且长了！这是为何？立志当数学家的学生寥寥，但每个学生都有一个大学梦，有了目标，生活就有了方向，从而转化为实际的行动，如果教师能把学生的这种状态提前，我想很多学生的境况会好很多。

二、数学课到底教什么？

很多数学同仁都有这样的感受，数学课堂枯燥，不好玩。我想这也正是数学学科特点所致，数学是思维的体操，因此，数学思维能力的培养，数学学科核心素养的养成，才是数学课堂应该注重的，而不单单是我讲了几道题。新授课要注重概念的内涵、外延，不但要让学生知其然，还要知其所以然。复习课要引导学生学会思考，提高学生分析问题解决问题的能力，不单单是总结题型、题路，规律方法等，注重一题多解，多题一解，变式训练等。教师要注重课堂的设计和教学方法，以求最大限度地引导学生学习和思考的兴趣。

三、思考比知道重要

人的智力因素中，最重要的因素是好奇心、注意力、观察力、思考力、理解力、想象力等，而这些因素实际上是相互关联、同生共长，相辅相成，说到底，根子只有一个，就是理性能力。因此，教师要为学生提供一个良好的环境，足以鼓励、促使、帮助孩子的理性能力保持。