高中数学联赛回忆录

起笔于2019.10.22晚上

初稿发现于2021.3.15下午

创作结束于2021.3.24

我为什么突然要写这个呢，事实上，我刚才正在做一道高等代数II多项式的题目，突然想起2019.9.6日看陈晨老师视频时的一个题目的证法与此题很像，遍去翻以前的资料，恰好看到2019.10.22随笔记录的一些文字，若不是这样，我可能根本不记得我高三还抒发过一点感想

我又想起那天，其实从考完高联我就知道这次高联省一无缘，省二无疑了，导致后续的情绪非常低落，感觉这次高联的题目做着很不顺手，把我最擅长的两个板块放在了第一题和第四题（最易，最难）2019.10.22那天看到名单真是痛不欲生

整体说明

我从2016年7月正式开始了高中数学联赛的学习，第一年是初三，学习的是高联一试知识，由于当时基础薄弱加之还要参加中考并未学习多少内容，估算下来那一年学完之后也就达到高考90分的水平，一试20分的水平。

我的第二轮学习是高一，学习的是二试四个板块的内容，我在平面几何和代数上少有收获，当时的水平应该是一试60二试20。

我的第三轮学习是高二，学习的是中国数学奥林匹克的内容，当时我的平面几何己经算是一个小强项了，同时组合数学方面也颇有一些研究，但是数论和代数是我的难以弥补的弱项，当时的水平应该是一试85，二试80

下面按照几个部分回忆

part1 初三

我清楚的记得我最开始学高中竞赛时上了一个竞赛直升班，内容是高联一试，第二讲印象尤为深刻，学的是映射，就是单射，满射，双射，以及函数的概念，我初次接触这些内容感到无比的陌生，后续的内容也不例外，因此每次上完课回来，都要自己再花3个小时重新过一遍讲义，然后再用2个小时再过一遍讲义同时做一些高中课内练习册的题目，这时我才完全理解了95%的内容。很艰辛。当时的感觉就是不知道高中数学在学什么，感觉高中数学不如初中数学有意思，全是看不懂的符号和奇怪的定义，这种感觉伴随了我整个初三，不过到高一开始感到高中数学还是很直观也很有趣的。

初三的竞赛学习与其说是跟着学下来的，不如说是摸爬滚打过来的，事实上到了中考前期我基本上无暇顾及高中竞赛的学习了，但是也有不甘心，也担心一放下就很难再捡起来，所以说初三其他人都在专心应考，我却在这种复杂的心情下左右徘徊，有时也因为这件事辗转反侧，抉择实在是太难了，就像是两件热爱的事物必须割舍其一不过鱼与熊掌不可兼得，我在中考前一个月彻底放弃高中数学竞赛的学习，专心备考。

part2 高一暑秋

高一的暑假我过的非常舒畅，因为可以自由的徜徉在竞赛的题洋之中，这个暑假我做完了浙大的那本一试教程的50%以及三套中等数学增刊的一试模拟题，对高联一试的处理方法有了一个大致的理解，同时也跟着学而思竞赛班把二试的平面几何学完了，效果相当不错。

出入高中时，我就感到这个高中似乎不适合我，我比较喜欢十一学校或者北大附中那样比较自由的学校，我在那种氛围下效率较高，而被人强制安排学习任务和顺序我是极为反对的，因为它大多数情况是不合理的，也是没用的。更令人无法忍受的，是学校老师大多（75%以上）不会讲课也懒的讲课，与自己看各种参考书书无异，甚至比参考书还不直观简明，这是令人难以忍受的，因为这样上课不如自学，那么既然自学比上课效率高10倍那上学干什么呢，我平时也会自己录一些视频，作为老师，我认为重要的是两点，一方面要让学生在短时间内对于一个部分有一个模糊的整体理解，（比如数学分析课第一节课老师都会说数学分析课是在干什么，至少也要从本科生的角度说明数学分析大致就是在用极限去刻画函数）另一方面，在后续的课程中，要对每一个局部做出一个合乎逻辑的引领，至少要说服全部学生认为它是对的，为了说清一些问题，老师还要进行广泛的类比，引申，充分的联系其内涵与外延（简单的说就是要进行适当的知识下放，这是必须要完成的）。重要的，整个过程之中，不要过分拘泥于细节而失去了对于知识整体的把握。然而令我更悲伤的，是我在学校竞赛团队的选拔中以第37-40名的成绩落选（具体我也忘了是多少，不过从老师那里得知好像是前36入围）不过运气较好的是后续很快就有几个人退出从而我进入了。

我其实最初由于暑假集中做了一些题目，你当初对自己的竞赛水平还是很自信的，然而到了学校的竞赛班才发现有许多人反应超级快，这得益于他们小奥和初中数学联赛上良好的基础，而我在这方面可以说是0基础的。这里使我印象很深的有三件事，其一是在一次课我们被要求做一道圆锥曲线的题目，我立即按照定义列出两个方程准备开始计算，而这是，已然有相当多的人利用方程的根的性质很迅速的注意到了结论，令我望尘莫及，这个时候我其实很怀疑自己是不是不擅长学习数学联赛，不过最后等我水平达到一定程度时我才知道其实当时就是我见识的方法技巧太少了，对于一些套路也太生疏了。其二是我们在学习初等数论的时候，很多人能够非常轻松的做出很多题目，而我还在纠结于某些定义，且几乎根本想不清楚老师每一步之间的逻辑关系，自己课下反复阅读讲义和相关书籍，总感觉与天书一半，而做一些题目也对答案之抽象的写法而感到莫名其妙，其三是我们再讲组合计数是有一些组合恒等式，其中一个比较著名的是 队长恒等式，而对于其证明有一个比较有趣的证法就是讲故事。当时我是见过那个恒等式的，而另一位获得全国初中数学联赛的女生我很确定她没有见过那个恒等式，然而，在老师的提示下，我还是一筹莫展，而她思考片刻就磕磕绊绊的给出了正确的证明，当时我很自卑，感觉自己什么都想不到，只会做高考生也会的恒等变形，而对于一些充分的条件或者必要条件的思考寸步难行，我再次怀疑我的数学能力。事实上，整个高一秋季基本都是这样过来的，我用尽了全部的精力投入到竞赛中，有一点知其不可为而为之的味道，最本质的，即使我当时水平很低、但我对于数学的热情还是有的，就跟一些人玩游戏一样，即使作业再多，游戏也是要玩的；就跟一些人明知一天5瓶可乐不好，但是也是要坚持喝的，因为好喝。也正是因为这份热情，我在秋季也算是基本上把小蓝本的平面几何看完了，同时有学了40%的奥赛经典真题分析那本书，虽然组合数论一点没学懂，这也给了我很多启示，高考数学真的算不上数学海洋中的一条最小的鱼，这样激励我不断学习新的数学。

part3 高一寒春

高一的寒假是令我印象深刻的，我至今还有感触，我报名参加了学而思的联赛二试集训营，训练地点在尚丽外国语学校，里面设施很破旧，冬天屋子也很寒冷。我当时虽然水平很低，但是学的很认真，几乎每天早上7:00到晚上23:59都在思考数学问题，除去吃饭睡觉，集训分成五个部分，几何组合代数数论，几何是yzh老师，我还记得讲的是完全四边形，我当时收获很大，组合是ywl老师，感觉就是在念答案，我当时组合基本不回去，所以就只是跟着听了听，并没有做深入的思考，代数和数论是lwg教授，当初听他的课基本上没有能听懂的，除了他告诉我们他的好的经历，下面列举如下

1.据说他小学因为教育部政策而留级一年

2.他们体育老师考数学比数学老师高，因此顶替了数学老师的职位

3.他的一个朋友先想变成女的，做完变性手术之后又想变成男的，最后既不想当男的也不想当女的了

4.他的高中数学老师告诉他椭圆是两个抛物线拼起来的，lwg于是发问那两个尖怎么办

5.他喜欢和几个同学一起做报纸上的IMO题，并且于1981年全国高中数学联赛中获得一等奖第一名保送至北京大学数学力学系，当年他高一，北京四中给他寄了一摞毕业证书

最后就是一个习题课，由北大数院wys学长代课，总之讲的难度非常大而且跳步异常严重，不过我向他学会了很对使用的小技巧，比如一种很有特点的归纳法。

在参加集训营之余呢，我主要还是在做奥赛经典真题分析，对一些经典题型已经有了一些感觉，不过呢，这个阶段我的水平还是很低，毕竟呢，刚刚学了半年竞赛。

当然，我整个寒假都在致力于竞赛，学校布置的寒假作业只完成了物理化学作业还有英语的50%，语文生物数学可以说一笔没动。

在这之前，由于对竞赛题很是惧怕，而且很多题目理解起来有困难，我基本不敢也不愿意去自己尝试着解题，而是仅仅拘泥于答案抽象的描述中，因此收获自然是小的，当然，这个阶段是必然要经历的，数学语言在最初阅读起来的确很抽象，也很难抓住写这些题目的人的本质的思路，不过经过一段时间的历练就差不多了，给我的感觉是高强度的训练3-5年就基本上具备一定的数学的思维模式，也就能初步的思考一些数学问题了。回来，我的最初的数学竞赛解题之路就是这个春天开始的，我遇到了曾经有过33小时之缘的老师，他说清华的大三学生，曾经是浙江省队，CMO银牌，他的经历也很传奇，这里从略，他对我们言传身教，总是把黑板当成联赛的答卷纸，给我们演示他的解题步骤，他喜欢边做题边演讲，演讲的内容就是当时他的心之所想，他演讲时而激昂，说一些什么这道题要大刀阔斧一点，这道题技止此而的话语，可见，在数林中，（我们把数学世界比喻成数林）他是一位勇敢的功夫者，演讲时而深沉，常常伴随着他的亲身经历，他告诉我们他是身临其境过的，到现在，我可以说能够体会到他当时的心情，那种极为复杂的心情，我此时的心情也是复杂的，往昔的场景历历在目，别无话说…，他告诉我们，学数学需要一张很大很好的草稿纸，一支好用的笔，一支不会像瀑布一样的笔，然后慢下来，自己做自己的探索，自己走自己的数学路，可能这些话外人听来是平凡的，在我们看了，这竟是对于数学竞赛过程最完美的刻画，解题如人生，人生如解题，解题确实是一门艺术，一门至高无上的艺术，紧密联系着科研，深刻考察者一个人几乎全部的精神品质，一个解题优胜者往往伴随着坚韧不拔的意志和异常活跃的思维，以及那份洞察力…再回来，我的下学期基本就是这么过来的，这段时间我在汲取着，沉淀着，最重要的，我学会了自己做自己的探索，最好的办法由自己给出。（总之，高一下学期的经历很美好）

part4 高二暑秋

高一升高二的暑假是我的一个重大提升阶段，开始学校组织了一次成都x日游，我当时吃了两次火锅，看到一些熊，跟同学说了约500句话，同时看whx老师的初等数论和命题人讲座的初等数论还有2019IMO。回来之后在学而思学了5天的平面几何，跟着视频学了一些进阶的数论知识，就去了上海新星培训了15天，培训的难度是CMO难度，严重超出了我的水平，基本上没有什么收获，不过让我的数学素养提高了很多，我还学会了说一些话，比如，我们称A是奇妙的，如果…；我们说它是好的；…这些数学竞赛的经常用语，回来之后就开始二刷奥赛经典的真题分析还有几套往年真题的一试部分，最后就是学校培训，代数老师讲的非常好，我也是当时反复把讲义看了很多遍，学会了很多代数技巧，几何和数论就在念答案，基本没用，组合讲的也非常好，给我们用的非常简单的讲义，不过以我的组合水平正好合适，甚至还有些挑战性。

第一次参加高中数学联赛是在高二，我们慢慢回忆考试过程，我很轻松的找到了考场，听到很多同学高谈阔论内心很紧张，感觉自己比在坐的任意一个人都弱，一试是卡点发的，我当时一试基础很差，填空只会做4道，其他的全都不会了，一试解答做出了前两道，第一个解答是前几年的原题换了个数，第二题比高考容易，我运气好都做出来了，一试最终68分，当时还挺高兴的，因为做2017年真题一试得了8分。二试的第一题是代数，我尝试着归纳，归纳了一个小时没归纳出来；第二题是几何，看出了一个全等三角形，但是忘记写鸡爪定理的证明了，组合直接跳过了，我当时组合大概比一年级奥数集训队的人都差，虽然2018年高联组合是真的真的简单，，第四题数论当时因为时间原因也没怎么看，不过现在看拿点分还是挺容易的，这样算来二试大概20分左右吧，得了一个省三靠前（大概是北京市250名吧）考完高联我开始做奥赛经典的组合分册，一个学期下来除了图论板块其他部分基本上做完了70%，这个学期学校也在学组合，可以说我的组合水平通过这半年的训练从幼儿园水平瞬间达到了竞赛生应有的水平，我这个学期很满足。

part5 高二寒春

接下来是高二寒假，我先是学了一段时间的射影几何，又去学而思集训营，这次与去年不同，同样的难度下我基本上可以独立做出20%的题目，听懂95%的题目，在CMO模拟测试上还得了一些小分，相比于当时200人100+个得了0分还是相当开心的，也就是在寒假我的几何和组合基本算是出师了，同时，为了搞一试，我利用寒假把9本奥数教程过了一遍，感觉一试方面收获巨大。

到了春季前期，我一方面每周进行一次联赛模拟考试，主要是用近5年的中等数学增刊，到最后基本上中等数学增刊的一试可以做到70分左右，二试做到40分左右，要知道，中等数学增刊的难度是远大于真正联赛的，不过我感觉难度越高越不容易失误，得的分越接近真实水平。另一方面，我还把小蓝本的不等式的两本书和图论那本小册子和初等数论红皮书都做完了，同时把北大的初等数论黄皮书也看了几章，当时的见识拓宽了很多，也提升了很多。到了春季后期，我开始一天一套一试的训练量，主要用学数学的两本模拟题，其实这个学期过了之后，我的代数几何组合都是可以做出一些题目了，但是数论只要涉及到一些特殊的技巧就不太会，可能是因为当时高一基础太差，学数论基本就没学明白，然后之后也没有时间让我系统的搞一搞数论了。不过由于北京市组织了三次联赛二试的模拟考试，我在这三场考试中有一次的成绩很好，可以进省队了，另外两次当时估计着大概是省一偏下，但由于北京市竞赛生的数学基础知识都很薄弱，我的一试水平在他们之中肯定占优势（起码我现在也这么认为），于是我当时想着最后一个暑假赌一把省队，成则为王，败了也没人管。

因此，到了最后一个暑假，我总结了前两年的得失，觉定放弃学校高三补课还有由学校老师组织的培训，因为学习老师讲竞赛就是读答案，没有什么可听的，不过高思的一些老师来给我们讲课讲的很好，尤其是代数。

在这之前我去了成都爱尖子的集训营，不得不说爱尖子的集训营效果非常非常好，组合是邹谨老师，我跟他学到了很多组合知识，包括接下来的联赛组合题的构造就是在邹谨老师的例题上获得的启发，数论是北大数院的刘若川教授，他让我一个数论基本不会的人从中学到相当多的思想，特别是组合数论的思想，几何是籁力老师，给我们讲解了复数法和重心坐标法，让我大开眼界。特别强调，这三位老师曾经都是IMO金牌，想想就激动！最后我也没怎么再刷书，只是在复习之前所获，其余就是做做模拟题，当时模拟题基本是150左右，当时我非常自信，感觉自己稳拿省一，没准还能进省队参加CMO…

下面说一下2019高中数学联赛具体情况，开始就不顺利，我找考场就找了半个小时，还是在我一个初中同学的帮助下找到的考场，一试题第一题就不会，我做了10分钟都没做出来，可能当时是太紧张了，一直在发抖，我的答卷在基本上都湿了，看第二题，不会，第三题，不会…我当时已经快疯了，冷静了一分钟，我开始做解答题，大概20分钟我完成了前两解答题，这时我有了36分的保障内心平静了很对，于是又做出了6道填空题，一试共获84分，这个分数我还是比较满意的，但是现在看看其实是能够拿到97分，只是当时我太紧张了。接下来是二试，之前也说了这次二试很不利于我，几何本不难，但我当时做了半个小时一无所获，于是转战代数，想到了配方，但是配成什么样子对应着怎样的防缩当时也是由于紧张没有深入下去，总想着一蹴而就，于是抛弃了配方开始进行磨光变换，但还是一无所获，数论来不及看，我就去做组合，我读完题大概就猜到了结果，写了一个引理，我知道我大概会这个过程于是讲其书写放在最后，我回头去做第一题几何，我突然感觉这道题和2018年的题目好像，因为我平常训练经常一个题目做几个小时之久，所以对于做过的题目的心路历程记忆很深刻，往往心路历程相似的题目其最终标答也是相似的，我这时就感到这道题目和18年的几何答案是一致的，于是仿照18年的思路我做出了这道题目。中间上了个厕所，内心稍稍平静一点，心想有省二保底了，把代数做出来就省一了，回到考场，开始小心翼翼的调整，无果，随着时间流逝，我再次紧张起来，于是先急匆匆的写完第四题的引理，当时的字体真可谓是腾云驾雾龙飞凤舞，又把第二题自己得到的一些中间结论写在答题纸上，谋划着骗个10分20分，出了考场，我就感觉到省一已然离我远去矣……对完答案，预计二试得个60分差不多，再看代数题的解答，多么的简单，多么的清晰，我考场上怎么一点思路就没有呢，啊啊啊啊tatatatata………

算了一下，联赛成绩最高也就144分，要是再把第四题因为字迹潦草导致看不懂扣分那不就彻底完了。打开微信，面对一堆同学的询问，我真的不知道该回答什么，只是简单的统一回复了感觉就那样，竞赛退役了。然而有一个人一直在刨根究底的问我是不是没有可能得省一了，我当时真的懒的搭理他，随后他又幸灾乐祸的说了一大堆对他极为有利的条件且恰好对我不利，我便直接把他拉黑并删除了，并且退出了所有他在的群聊（班群除外）

回到家中，先是把我的竞赛资料，竞赛书籍整理了一下，两年间竞赛生涯的许多片段再次回放，我也是感慨万分，即便是现在，我都难以忘怀这段时光，这是我上大学前最难忘的也是最长的一段经历。

之后就是痛不欲生的高考复习阶段，回想起来高三几乎没有什么收获，每日都是无趣的重复没有惊险没有难度全是无意义之细节，不想回忆，从略