【2021河南中考数学第15题解题赏析】

小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏， 如图1， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°， AC=1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A´处，如图2；第二步，将纸片沿CA´折叠，点D落在处，如图3.当点D恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为_____.

本题出现了两次折叠，我们可以得到确定A´的运动轨迹是圆弧，但是D´的运动轨迹不是常见的规则图形，因此无法直接确定D点的位置。

但是我们可以根据题目中的条件先确定A´的位置，由折叠的性质可得CD=CD´，A´D=A´D´，所以CA´⊥AB，所以确定A´既在以C点圆心CA长为半径的圆上，还在过点C线段AB的垂线上，确定完A´位置，作∠ACD´的角平分线，即可确定D和D´点位置。请看情形1,（后面都求AD的长）

设CA´与AB的垂足为点E，在Rt△ACE中，∠A=60°，AC=1，利用三角函数求出CE=，所以AE=1-，在Rt△A´DE中，∠A´=60°，所以A´D=2AE=2-.

由思路一可得AE=1-，在Rt△ACE中，∠A=60°，AE=，设AD=A´D=x，DE= -x，在Rt△A´DE中，由勾股定理可得关于x的方程，可以求解。

由折叠的性质可得CD平分∠ACE，利用角平分线分线段成比例定理可得

，又ED+AD=AE=，进而可求AD的长.

我们可以得到∠ACD=15°，可以如下图借助30°特殊角构造15°的直角三角形，进而求出15°的正切值，在△ADC中，已知两角∠A和∠ACD，以及一边AC，该三角形可解。

第二种情形是比较简单的。

由折叠的性质可以分析出来∠ACD=30°，又∠A=60°，所以在Rt△ACD中AD=AC=.