河海大学2021年研究生入学考试试题-高等代数

1. ( 5 分) 已知三阶方阵 满足 , 求 的值.

2. ( 5 分) 设矩阵 , 其中 为 4 维列向量, 且 线性无关,, 向量 , 求线性方程组 的通解.

3. ( 10 分) 已知 是实数域 上的欧氏空间, 是 的一组标准正交基, 若 上对称变换 的特征值为 二重), (二重), 且属于特征值 的特性向量为 , , 求 在基 下的矩阵.

4. ( 10 分) 已知实数域 上的多项式 足满等式 .

(1) ( 5 分) 证明: ;

(2) ( 5 分) 求满足已知等式的所有非零实系数多项式 .

5. ( 15 分) 设矩阵

求 的 Jordan 标准型 , 并求可逆矩阵 , 使得 .

6. ( 15 分) 设 阶矩阵

记 为 的伴随矩阵, 是 中第 行第 列的代数余子式.

(1) (5 分) 求逆矩阵 ;

(2) (5 分) 求

(3) 分 证明: .

7. ( 10 分) 给定两个 元线性方程组 (I): , (II): .

(2) ( 5 分) 设 是方程组 (II) 的基础解系, 其中 , 则 (I) 与 (II) 有非零公 共解的充要条件是 线栍相关.

8.设是非零实方阵,若，其中分别为的转置和伴随矩阵.

(1) ( 5 分) 证明 可逆；

(2) (5 分) 若 是 的特征值, 则 , 其中 表示 的模长.

9. ( 10 分) 解答如下问题:

(1) ( 5 分) 设 是 元实系数线性方程组 的基础解系, 其中 . 将 唂为 的一组基, 记为 , 证明 线性无关.

(2) ( 5 分) 设 分别是实数㘺 上的 与 矩阵, 令

证明 是 的子空问, 且 .

10. (10 分) 设 是 维欧氏空间, 是 上的线性变换, 若 上一个变换 满足

证明

(1) (5 分) 也是 上的线性变换；

(2) (5 分) , 其中 , Ker .

11. ( 20 分) 设 是实数域 上的两个不同的 维单位列向量, 矩阵 , 其中 蓑 示 的转置.

(1) ( 5 分) 证明: 与 正交的非零列向量是矩阵 对应于特征值 0 的特征向量;

(2) ( 5 分) 证明: 是矩阵 对应于特征值 的特征向量;

(3) ( 5 分) 证明: 可对角化的充要条件是 与 不正交;

(4) ( 5 分) 若 和 是 个实数, 计算行列式

12. ( 20 分) 设 是数域 上 维线性空间 的三个线性子空间, , 若 是 的一组基, 其中 , 将其分别扩充为 的一组基, 设 线性无关;

    (2) ( 5 分 ;

    (3) ( 10 分) 令

    其中 为 123 的一个排列, 证明: .

    13. ( 10 分) 设 是 阶实对称矩阵, 为实数域, 若存在向量 , 使得 , 证明:

    (1). ( 5 分) 线性无关;

    (2). ( 5 分) 设 表示 生成的线性子空间, 则存在非零列向量 , 使得