【高中数学】集合与函数概念知识点总结

一.集合关系的判断

1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系是　(　　)

A.MT　　 B.MT　　 C.M=T　　 D.M⊈T

2.指出下列各对集合之间的关系:

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.

(2)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.

(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.

(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.

二.关于子集、真子集的个数问题

3.(2015·福州高一检测)集合{a,b}的子集个数为(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

4.若集合{1,2}⊆M{1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合M.

5.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=(　)

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知集合A{x∈N|-1<x<4},且A中至少有一个元素为奇数,则集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.

三、由集合间的包含关系求参数

7.由集合间的包含关系求参数已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m}(m>1),且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　　.

8.(变换条件)本例若将集合“B={x|1<x<m}(m>1)”改为“B={x|1<x<m}”,其他条件不变,则实数m的取值范围又是什么?

1.选A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以MT.

2.(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.

(2)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知AB.

(3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角

形,故AB.

(4)方法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集

合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故NM.

方法二:由列举法知M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},所以NM.

3.选D.当子集不含元素时,即为∅;当子集中含有一个元素时,其子集为{a},{b};当子集中有两个元素时,其子集为{a,b},故子集个数为4.

4.由于{1,2}⊆M,故1,2∈M,又M{1,2,3,4},所以符合条件的集合M

有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.

5.【解题指南】根据题意,由集合的子集与其元素数目的关系,可得M中有2个元素,结合题意,由M中元素的特点,可得m的值,即可得答案.

【解析】选B.根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数,则m=2.

6.这样的集合A共有11个.因为{x∈N|-1<x<4}={0,1,2,3},

又A{0,1,2,3}且A中至少含有一个奇数.

故A中只含有一个元素时,A可以为{1},{3},A中含两个元素时,A可以为{1,0},{1,2},{1,3},{3,0},{3,2},A中含三个元素时,A可以为{1,0,2},{3,0,2},

{1,3,0},{1,3,2},

所以综上可知,满足条件的集合A为:{1},{3},{1,0},{1,2},{1,3},

{3,0},{3,2},{1,0,2},{3,0,2},{1,3,0},{1,3,2}.

7.提示:对于两个连续数集可用数轴分析法通过画数轴来分析它们之间的包含关系.

【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4,

又m>1,所以1<m≤4.

答案:1<m≤4

8.【解析】若m≤1,则B=∅,满足B⊆A.若m>1,则由例题解析可知1<m≤4.综上可知m≤4.

两集合间关系的判断步骤

(1)判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A⊈B.

(2)判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B⊈A.

(3)若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.

集合子集个数的规律及一个注意点

(1)规律:集合子集、真子集个数的规律是:含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.

(2)注意点:解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合,即∅和集合本身.

由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

(1)注意点:不能忽视集合为∅的情形.当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.

(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.

【防范措施】

空集的特殊性

根据“A⊆B”条件,在求相关参数值时,不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况,同时还要进行检验,看是否满足元素的互异性.如本例错解,忽视B=∅的情况而漏解.

理解交集的概念应四点

(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．

(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．

(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.

(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.

[例1]　

(1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)

A．{－1,0,1}　　　　　 B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2} D．{0,1}

(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于 (　　)

A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}

C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}

[解析]　

(1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．

(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

[答案]　(1)B　(2)A

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．

练习：

若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0.

答案：C　

[例2]　(1)(北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝(　　)

A．{0} B．{－1,0}

C．{0,1} D．{－1,0,1}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)

A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}

求交集运算应两点：

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．

(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．

并集、交集的性质应用技巧：

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．

预警：含字母的集合运算忽视空集或检验

[典例]

(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是(　　)

A．1或2　　　B．2或4

C．2 D．1

(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．

[解析]　

(1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．

(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，

∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；

当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；

当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．

[答案]　(1)C　(2){a|a≥2}

1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．

2．在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．