高中数学------考点15 二次函数及其应用

发布于 2021-08-12 21:37 ，所属分类：高考数学学习资料大全

【基础回顾】

一、课本基础提炼
1．二次函数的三种常见解析式
　(1)一般式：y＝ax²＋bx＋c(a≠0)；
　(2)顶点式：y＝a(x－h)²＋k(a≠0)，其中(h,k)为抛物线顶点坐标；
　(3)零点式：y＝a(x－x₁)(x－x₂)(a≠0)，其中x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标．

2．二次函数的图象和性质
　

二、二级结论必备

1．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系
　(1)f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax²+bx+c=0的实根．
　(2)若x₁，x₂为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长为

．
　(3)当

时，恒有f(x)＞0；当

时，恒有f(x)＜0．

2．设f(x)=ax²+bx+c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况
（1）

（2）

．

3．当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小．

4．恒成立问题的基本类型：
类型1：设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，
　（1）f(x)＞0在x∈R上恒成立

；
　（2）f(x)＜0在x∈R上恒成立

．
类型2：设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)
　（1）当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α,β]上恒成立

f(x)＜0在x∈[α,β]上恒成立

，
　（2）当a＜0时，
f(x)＞0在x∈[α,β]上恒成立

，
　f(x)＜0在x∈[α,β]上恒成立

【技能方法】

1．求二次函数的解析式
　　根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

　　例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【答案】f(x)=-4x²+4x+7
【解析】
　　法一(利用一般式)：设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)．
由题意得

∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x²+4x+7．
　　法二(利用顶点式)：设f(x)=a(x-h)²+k(a≠0)．
∵f(2)=f(-1)，∴二次函数f(x)的对称轴为

，
∴g=1/2又根据题意函数f(x)有最大值8，∴k=8．
∴

．
∵f(2)=-1，∴

，解得a＝－4，
∴所求函数的解析式为

　　法三（利用零点式）：由已知f(x)+1=0两根为x₁=2，x₂=-1，
故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，
即f(x)=a(x²)-1．
又函数f(x)有最大值8，即

，
解得a=-4．
∴所求函数的解析式为f(x)=-4x²+4x+7．
【点评】本题三种方法都可以选用．

2．二次函数的图象与性质
　　主要考察二次函数的图象、对称性、单调性、最值，结合二次函数的图象求解即可．
　　例2 设abc＞0，二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象可能是(　　)

【答案】D
【解析】
　　由A，C，D知，f(0)＝c＜0．
∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴

知A，C错误，D符合要求．
　　由B知f(0)＝c＞0，∵abc＞0，∴ab＞0，

B错误．故选D．
【点评】
　　识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．

例3 已知函数f(x)=x²+2ax+2，x∈[-5,5]．
　（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
　（2）若f(x)是偶函数，求a的值；
　（3）求实数a的取值范围，使f(x)在区间[-5,5]上是单调函数．
【答案】（1）f(x)的最大值为37，最小值为1；（2）a=0；
　（3）(-∞,-5]∪[5,+∞)
【解析】
　（1）当a=-1时，f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1，因为x∈[-5,5]，所以当x=1时，f(x)取得最小值1；当x=-5时，f(x)取得最大值37．
　（2）由f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)，即x²-2ax+2=x²+2ax+2，比较系数得-2a=2a，解得a=0．
　（3）函数f(x)=(x+a)²+2-a²的图象的对称轴为直线x=-a，
　　因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，
　　所以-a≤-5或-a≥5，即a≤-5或a≥5．
　　故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞)．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴、最值、单调性、奇偶性．

3．二次函数的最值问题
　　研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．归纳起来常见的命题角度有：
　(1)轴定区间定求最值；(2)轴动区间定求最值；(3)轴定区间动求最值．
　　例4 已知f(x)=ax²-2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
【答案】

【解析】
　(1)当a=0时，在f(x)=-2x在[0,1]上递减，
∴f(x)_min=f(1)=-2
　(2)当a＞0时，f(x)=ax²-2x的图象的开口方向向上，且对称轴为

．
　①当

，即a≥1时，f(x)=ax²-2x的图象对称轴在[0,1]内，
∴ f(x)在

上递减，在

上递增．
∴

　②当

，即0＜a＜1时，f(x)=ax²-2x的图象对称轴在[0,1]的右侧，∴f(x)在[0,1]上递减．
∴f(x)_min=f(1)=a-2
　(3)当a＜0时，f(x)=ax²-2x的图象的开口方向向下，且对称轴

，在y轴的左侧，
∴ f(x)=ax²-2x在[0,1]上递减．
∴f(x)_min=f(1)=a-2．
　　综上所述

．
【点评】
　　本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a进行了讨论，又对对称轴进行了讨论；在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．

4．二次函数的恒成立问题
　　二次函数的恒成立问题有两类，利用二次函数的判别式、二次函数的最值（或值域）、零点分布、分离参数法等方法进行求解，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．
　　例5 已知a是实数，函数f(x)=2ax²+2x-3．
　（1）若f(x)＜0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
　（2）若f(x)＜0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】

【解析】
　（1）当a=0时，f(x)=2x-3，不满足题意，舍；
当a≠0时，由题意得

所以实数a的取值范围是

　（2）2ax²+2x-3＜0在[－1，1]上恒成立．
当x=0时，适合；
当x≠0时，

，
当x=1时，

取最小值1/2，所以

综上，实数a的取值范围是(-∞,1/2)．
【点评】
　（1）f(x)＜0在x∈R上恒成立

．
　（2）利用分离变量的方法，将参数与变量分离出来．

5．二次函数的零点问题
在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
　　例6（1）已知二次函数f(x)=(2m+1)x²-2mx+(m-1)与x轴正半轴和负半轴各有一个交点，求实数m的取值范围．
　（2）已知方程2x²-(m+1)x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．
【答案】

【解析】
　（1）由(2m+1)×f(0)＜0即(2m+1)(m-1)＜0，解得

，所以实数m的取值范围是

．
　（2）由题意，得

所以实数m的取值范围是

．
【点评】
　（1）一元二次方程ax²+bx+c=0(a＞0)有一正一负两个根时，a与f(0)的值的符号是相反的，即af(0)＜0．
　（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a＞0)有两个不相同的正根时，
满足条件

【基础达标】

1．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x=2，最小值为-1，则它的解析式为______．
【答案】

【解析】
　　依题意可设f(x)=a(x-2)²-1（a≠0），
又其图象过点(0,1)， ∴4a-1=1，∴a=1/2．

2．(2015深圳一模)已知函数

则f(2015)+f(2015)=_______.
【答案】0
【解析】f(2015)=2015²-3，f(-2015)=3-2015²，故f(2015)+f(-2015)=0

3．对于任意实数x，函数f(x)=(5-a)x²-6x+a+5恒为正值，则a的取值范围是________．
【答案】(-4,4)
【解析】由题意可得

，解得-4＜a＜4，所以a的取值范围是(-4,4)．

4．函数f(x)=-x²+a(a-1)x+2在(-∞,4)上是增函数，则实数a的范围是(　　)
　A．a≥5　　B．a≥3　　C．a≤3　　D．a≤-5
【答案】A
【解析】
　　因为函数f(x)的对称轴为x=a-1，所以函数f(x)在(-∞,a-1)上为增函数，又函数f(x)在(-∞,4)上是增函数，所以a-1≥4，即a≥5，所以实数a的范围是a≥5，故选A．

5．已知关于x的方程x²-2mx+m-3=0的两个实数根x₁,x₂满足x₁∈(-1,0)，x₂∈(3,+∞)，则实数m的取值范围是（　　）
　A．(2/3,3)　　B．(6/5,3)　　C．(2/3,6/5)　　D．(-∞,2/3)
【答案】B
【解析】
　　由题意可知：

∴实数m的取值范围是(6/5,3)，故选B．

【能力提升】

1．若一元二次不等式

对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　）
　A．(-3,0]　　B．[-3,0)　　C．[-3,0]　　D．(-3,0)
【答案】D
【解析】由题意k≠0，

，解得，所以k的取值范围为(-3,0)，故选D．

2．已知函数f(x)=x²-2x+3在闭区间上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为____.
【答案】[1,2]
【解析】二次函数f(x)=x²+2x+3的开口向上对称轴为x=1,
且函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增．所以x=1时f(x)取得最小值为f(x)_min=f(1)=1²-2×1+3=2．所以1∈[0,m],即x≥1．因为f(0)=3,由对称性可知f(2)=f(0)=3,所以m≤2,综上可得1≤m≤2，所以m的取值范围为[1,2]．

3．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”，区间[a,b]称为“关联区间”．若f(x)=x²-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．
【答案】

【解析】
　　由题意知，y=f(x)-g(x)=x²-5x+4在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x²-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，

当x∈[2,3]时，

，
故当

时，函数y=m与y=x²-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点．

4．已知f(x)=x²-2ax(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
【答案】

【解析】
　　∵f(x)=x²-2ax=(x-a)²-a²，对称轴为x=a．
　①当a＜0时，f(x)在[0，1]上是增函数，f(x)_min=f(0)=0．
　②当0≤a≤1时，f(x)_min=f(a)=-a²．
　③当a＞1时，f(x)在 [0，1]上是减函数，f(x)_min=f(1)=1-2a
　　综上所述，

．

【终极突破】

1．设函数y=x²-2x，x∈[-2,a]，求函数的最小值g(a)．
【答案】

【解析】
　　∵y=x²-2x=(x-1)²-1，∴对称轴为x=1，而x=1不一定在区间[-2,a]内，应进行讨论．
当-2＜a＜1时，函数在[-2,a]上单调递减，则当x=a时，y_min=a²-2a；
　　当a≥1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1,a]上单调递增，则当x=1时，y_min=-1．
　　综上，

．

2．（2015高考浙江）已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈ar)，记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值．
（1）证明：当|a|≥2时，M(a,b)≥2；
（2）当a，b满足M(a,b)≤2，求|a|+|b|的最大值．
【答案】（1）略；（2）3
【解析】
　（1）由

，得对称轴为

，由|a|≥2，得

，故f(x)在[-1,1]上单调，
∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}，
当a≥2时，由f(1)-f(-1)=2a≥4，得max{|f(1)|,|f(-1)|}≥2，
即M(a,b)≥2
当a≤-2时，由f(-1)-f(1)=-2a≥4，
得max{|f(1)|,|f(-1)|}≥2，即M(a,b)≥2，
综上，当|a|≥2时，M(a,b)≥2．
　（2）由M(a,b)≥2，得|1+a+b|=|f(1)|≤2，
|1-a+b|=|f(-1)|≤2，故|a+b|≤3，|a-b|≤3，
由

，得|a|+|b|≤3，
当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且|x²+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2，即M(2,-1)b=-1，∴|a|+|b|的最大值为3．

3．已知函数f(x)=ax²=2ax+2+b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2．
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
【答案】
　　（1）