炎炎暑期不懈怠,灼灼热情备高考(一)

发布于 2021-08-18 16:19 ，所属分类：高考数学学习资料大全

暑假，是老师们用来充实自己，提高自己大好的时机。为此，在名师工作室主持人李从清老师的倡导下，工作室全体成员潜心研究高考试题，精心备考2022高考，针对各知识点制定了详实可行的复习备考策略。

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高三数学一轮复习之三角函数复习备考策略

(胡晴）

三角函数是高中数学的重点内容，它既是对前面函数知识的延申，又是三角形知识的拓展，同时也是历年来考试的热点，在高考中占据了较大的分值。纵观近年来的高考数学试题，可以发现，各地区对三角函数的考查在考题数量、分值大小、位置分布、考题形式上差别都不大，题量适中，题型稳定，主要分为四类，即：与三角函数性质有关的问题、与三角函数图像有关的问题、应用同角变换和诱导公式求三角函数值及化简和等式、不等式的证明问题、三角函数与解三角形的知识交汇。解三角形考查的主要内容包括：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用。三角函数复习的重点就是让学生能更好的掌握、运用和反思三角函数，提高学生的实际学习效果。在三角函数的复习过程中，认真研究新课标与考试说明是复习中必不可少的环节，同时还应探究三角函数的答题规律和解题方法。

一、命题分析

在2021年的全国甲卷试卷中，三角函数内容文、理科均考了2个选择题和1个填空题，所占分值15分，考题难度不大，均属于中等难度题。复习时，除了要重视三角恒等变换、三角函数的图像和性质、三角函数与解三角形的知识结合外，还应深刻领会三角函数所蕴含的数学思想：数形结合、转化与化归、整体思想、换元思想。因此，在教学过程中，紧扣新课标与考试说明，让学生理解任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=Asin(ωx+Φ)的图像，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，能运用三角函数公式进行简单的恒等变换，掌握正弦定理、余弦定理、三角形的几个面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题及一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二、题型解析

1.三角函数的化简、求值。这类题主要考查三角函数的变换。解此类题应根据考题的特点灵活的正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式、同角关系和诱导公式，进行化简、求值。

2.三角函数的图像与性质。图像变换是三角函数考查的重要内容，这类问题主要考查三角函数的最小正周期、三角函数的图像性质及识图的能力。解决此类问题，先通过三角恒等变换将函数化为y=Asin(ωx+Φ)（A＞0，ω＞0）的形式，关键是理解A，ω，Φ的意义，特别是ω的判定，以及伸缩变换对Φ的影响。

3.解三角形。2019年全国Ⅲ卷文理科解答题均是解三角形，2020年全国Ⅲ卷文理科、2021年全国甲卷文理科均考查了一道解三角形的选择题。此类题主要考查在三角形中三角函数的利用。这类问题往往会涉及到三角形的边角关系、三角形面积及有关最值等问题，往往还会与平面向量等知识交汇，正确、灵活地运用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，一般难度不大。

三、三角函数复习策略

1.紧扣教材，巩固基础

高三数学一轮复习主要就是对前两年所学知识进行一个系统的、全面的复习，因此不能够用高一、高二的讲解方式来教学。复习课最重要的一点就是要将教材吃透，全面了解和掌握教材中的内容，能够对教材知识有个深刻的认识。所以，在实际教学的过程中必须要强调教材的重要性，引导学生阅读和熟悉教材，尤其是对教材的基本概念和公式必须要能熟练的掌握和运用。历年的三角函数高考题大多都是将课本例题、习题进行改编、变形及重组后成为高考题，因此，教师在复习时一定要立足课本，善于对课本中典型例题与习题进行变换，领悟蕴含在其中的思想方法。

2.复习数学思想方法

在教学过程中引导学生加强对数学思想方法的学习，探究三角函数的答题规律和解题方法。三角函数如果出现的形式是选择题、填空题，则有一些特殊的解题技巧，帮助学生更好地完成三角函数问题。比如：特殊值法、排除法、代入检验法、数形结合法等，这些数学解题思想对三角函数的解题很有帮助。

3.系统掌握三角函数内容

（1）三角函数的定义。理解正弦、余弦、正切函数的定义。

（2）三角函数的图像与性质。在三角函数中，图像与性质是高考出题的热点，复习时要让学生能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=Asin(ωx+Φ)的图像，充分了解三角函数的图像和性质之间的关系，运用数形结合的思想，把图像与性质结合起来，即利用图像的直观性得出函数的性质，同时也要利用函数的性质来描绘函数的图像，这样既有利于学生熟练掌握函数图像与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法来解题。

（3）三角变换。三角函数变换重点在于一个“变”字，加强学生“变”的意识，在复习过程中要强化变角训练，注意角之间的变换关系。同时，引导学生立足于教材，对教材习题类型进行归类，总结解题技巧。

4.三角函数知识的综合应用

三角函数容易与其他函数、导数、不等式、向量等知识结合，作为应用题考查，目的在于突出数学的应用性和工具性，考查学生的运算能力、建模能力、应用意识、创新能力及独立解决问题的能力。复习时建议将三角函数与解三角形、平面向量与复数知识融合为一个知识模块进行整体复习。

综上，在高三数学三角函数复习的教学中，教师要从三角函数本身性质、问题、教材内容以及数学解题思想等多个方面入手，紧扣新课标与考试说明，夯实基础，突出重点，全面复习，构建体系，把握核心，总结提炼，一题多解，灵活多变，重视计算，进而有效地加强高三学生对于三角函数的复习与巩固。

函数与导数复习策略

（段忠林、王贵平）

一、高考中函数考题统计分析

1、2011年——2020年全国课标卷Ⅰ函数与导数考点分布统计表（理科）

2、2021年高考卷函数与导数考点分布统计表（理科）

卷别	考题	题量	分值
新课标I卷 （8单4多4填）	第7题：导数、切线 第13题：函数的奇偶性 第15题：函数的单调性与最值 第22题：综合运用	3小1大	27
新课标II卷 （8单4多4填）	第7题：对数函数单调性 第8题：函数的奇偶性、周期性、图像 第14题：函数的奇偶性、单调性等综合运用 第16题：函数的导数等综合运用 第22题：综合运用	4小1大	32
全国甲卷	第4题：函数的应用，已知解析式，根据函数值求自变量值 第12题：函数的奇偶性、周期性、图像 第13题：导数、切线 第21题：综合运用	3小1大	27
全国乙卷	第4题：函数的奇偶性、图像 第10题：一元三次函数导数、极值、一元二次函数零点 第12题：函数性质综合运用 第20题：综合运用（非压做题）	3小1大	27
北京卷	第3题：函数的单调性、最值，充要条件 第7题：函数的奇偶性、最值 第15题：函数性质、图像综合运用 第19题：综合运用	3小1大	27

3、函数考查内容分析

基本上是3道选填题、1道解答题，共4道题.分值27分．考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道作为选择、填空的“压轴题”或“次压轴题”进行考查；解答题一般均放置于“压轴”位置．常用策略方法有：①端点效应；②特殊点效应；③构造函数；④取点；⑤放缩；⑥虚设零点；⑦凹凸反转；⑧同构；⑨主元、消元、换元；⑩数形结合，具体内容为：

⑴函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）；

⑵函数的性质：函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性；

⑶函数的图象：包含显性与隐性；

⑷导数的应用：导数的概念及其几何意义；利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．

⑸解答题主要的类型问题有：①切线、单调性、极值、最值、零点问题；②不等式证明问题；③不等式恒成立问题；④多变量问题．

二、试题特征及解模套路

（一）函数的概念

1．函数的定义域、值域

函数的定义域、值域是原文科常考的问题，作为基础题的考查，是学生必须得分的题目．解决这类问题关键在于扣紧函数的概念，注意到函数的三要素，快速精准解决问题．

2．解析式

函数解析式的考查，主要以分段函数为载体，考查基本初等函数．结合指数、对数与幂函数运算，求函数值或解不等式．以中等难度题呈现．解决这类问题的关键在于掌握指数、对数及幂函数运算．必须合理运用分类与讨论思想进行解答．若借助数形结合思想，问题解决过程会更加简捷．

（二）函数的性质

1. 函数的单调性

显性考查是考技能，隐性考查是考素养，主要体现在数的大小比较、解不等式．若幂的底数相同、指数或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较，往往考虑与0，1，－1进行比较，也可以作差戓作商进行比较．

2.函数的奇偶性

观察题目特征，发现函数奇偶性的特征，转化为函数奇偶性问题，进而解决问题，关键在于扣紧函数奇偶性的概念，从定义入手，应注意函数奇偶性定义的变形形式．

3. 函数的对称性

对称问题本质上是奇偶性问题，奇(偶)函数图象的平移，平移后的图象是中心(轴)对称图形;熟记有关结论: ①如果函数f(x)满足f(a +x)= f(b－x),那么函数的图象有对称轴x =；②如果函数f(x)满足f(a－x)=－f(b＋x),那么函数f(x)的图象有对称中心().

4. 函数性质综合应用

考查单调性、奇偶性等性质：以单调性、奇偶性性质为载体，结合解不等式进行考查，有时先利用奇偶性将自变量转化同一单调区间，再利用单调性性质，进而解决问题．

函数具有奇偶性，又具有对称性，则函数是周期函数:

结论:设a是非零常数，则:

(1) y= f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于（a，0）对称，则y= f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期;

(2) y= f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则y= f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期;

(3)若y= f(x) 是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则y= f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.

（三）函数图象

函数图象的识别，首先分析函数定义域、奇偶性，根据函数的奇偶性确定图象的对称性，排除部分选择项；利用特值检验，从特殊值、极限值排除部分选择项；较难的问题需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．隐性考查函数图象问题，没有给出函数图象，但心中必须有图象，无图想图；作出函数图象，应用运动的观点解决问题。

（四）函数导数及其应用

1..函数导数的概念及其几何意义

第一类问题：求切线方程

已知切点，求斜率，即求该点处的导数值，，在根据点斜式求切线方程。题型属于基础题，解题过程中注意求导。

第二类问题：切线方程的应用及公切线

已知切点，求斜率，即求该点处的导数值；已知斜率，求切点，即解方程；题型属于中等题，解题过程注意切点

2.函数导数及其应用

第一类：参变分离确定“分界点”

（2020年全国Ⅰ卷21题）已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x³+1，求a的取值范围.

注意求导找单调性，当一次导数无法确定符号时，通过二次导数找一次导数的单调性。在参变分离中注意化简，并构造函数求导。注意参变分离一般都有二次导数。

第二类：根据二次项系数确定最值

导函数中含有二次三项式，需对最高项的系数分类讨论：

(1)根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数；

(2)由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向，从而寻找导数的变号零点．

第三类：根据判别式确定“分界点”

求导后，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，若导函数(或导函数分子)是二次函数，此时涉及二次方程问题，Δ与0的大小关系往往不确定，所以必须寻找分界点，进行分类讨论．　　

第四类：根据导函数零点的大小确定“分界点”

考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

第五类：根据导函数零点与定义域的关系确定 “分界点”

导函数零点是否分布在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要分类讨论．

第六类：导数零点不可求

1.当所求的导函数解析式中出现ln x时，常猜x＝1；当函数解析式中出现e^x时，常猜x＝0.

2.求函数f(x)的最小值，因此需要求的根，但是的根无法求解．故设出的根为，通过证明在和上的单调性知最小值为，进而利用基本不等式证得结论（设而不求）．

第七类：含有关x与ex，ln x的组合函数

对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要能够恰当地构造函数，寻求合理的解题策略，灵活利用导数解决问题

三.函数与导数的复习策略

1.必掌握的知识内容

此类问题主要考查函数的概念（函数的定义域、值域、解析式）、函数的性质（函数的奇偶性、单调性）、函数的图象、导数的应用：导数的概念及其几何意义（求切线问题）;

2.重难点分开原则

（1）定义域优先原则；

（2）重点对分段函数、函数的奇偶性与单调性综合应用、函数的对称性、求切线问题进行微专题训练；

（3）由于问题的解决都涉及函数的性质，而函数图象是直观表达函数性质的最佳方式，因此，作出函数的图象是解决函数与导数的重要途径．应通过具体实例让学生掌握作函数的图象的步骤：第1步：确定定义域；第2步：求导数和导函数的零点；第3步：列表（含自变量取值、导数符号、函数增减与极值）；第4步：确定特殊点（图象与坐标轴的交点、极值点）；第5步：确定图象的渐近线；第6步：画图象．从另一个角度考虑，应灵活应用函数的图象的平移与对称变换；

（4）应注意数形结合思想的应用；应特殊与一般思想的应用．

3.中等难度复习

（1）函数的性质的综合应用，涉及到对称性、周期性（选择填空题中的压轴题）；

（2）函数的单调性（如导数求单调区间、极值、最值与零点）、切线的应用;

（3）熟练掌握函数性质的综合应用，如周期性及对称性的相关结论，并应用；

（4）分类与整合思想的应用，合理的进行分类 ．

4.压轴题复习

（1）根据函数图象的性态，利用化归与转化思想，转化为熟悉的问题进行解决（函数的单调性、极值、最值问题）；

（2）了解常见解题思路：零点问题、不等式证明问题、不等式恒成立问题、多变量问题等．