干货丨高中数学导数知识总结+导数七大题型答题技巧!

发布于 2021-08-18 21:15 ，所属分类：高考数学学习资料大全

知识总结


一. 导数概念的引入

1. 导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=处的瞬时变化率是


2. 导数的几何意义：
曲线的切线，当点趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是
当点趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=处的导数就是切线PT的斜率k，即

3. 导函数：
当x变化时，便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作，即
二. 导数的计算

基本初等函数的导数公式：
导数的运算法则：
复合函数求导：
y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用

1. 函数的单调性与导数：
一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内
(1) 如果＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；
(2) 如果＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；

2. 函数的极值与导数：
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
求函数y=f(x)的极值的方法有：
（1）如果在附近的左侧＞0 ，右侧＜0，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧＜0 ，右侧＞0，那么是极小值；

3. 函数的最大(小)值与导数：
求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；
（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四. 推理与证明

（1）合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

类比推理的一般步骤：
(1) 找出两类事物的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；
(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；
(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
（2）演绎推理（俗称三段论）
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。
（3）数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法。
2. 步骤：
A. 命题在 n=1（或）时成立，这是递推的基础；
B.假设在 n=k 时命题成立；
C. 证明 n=k+1 时命题也成立。

完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥，且n∈N）结论都成立。
证明方法：1、反证法；2、分析法；3、综合法。

五. 导数中的数学思想
数形结合思想

数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果．数形结合思想贯穿于中学数学的始终，在许多知识板块中都有它的身影．数形结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱．本文举例说明数形结合的思想在求解导数问题中的灵活运用．
例 已知函数，当时取得极大值，当时取得极小值，求点对应的区域的面积以及的取值范围．
分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次方程的根的关系得到关于的线性不等关系，点所对应的区域．第（2）问利用斜率求出的取值范围．
解：函数的导数为，当时取得极大值，当时取得极小值，则方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间（1，2）内．
由二次函数的图象与方程的根的分布之间的关系可以得到
平面内满足约束条件的点所对应的区域为（不包括边界，其中点，，如右图所示）．
的面积为（为点到轴的距离）
点与点连线的斜率为，显然，即．
整体代换思想

我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．这种思想若运用巧妙，不仅可以简化运算，而且能够激发学生思维的灵活性．本文仅举一例来说明整体代换思想在求解导数问题时的应用．
例 已知是定义在上的函数，其图象交轴于三点．若点的坐标为，且在和上有相同的单调性，在和上有相反的单调性．
（1）求的值；
（2）在函数的图象上是否存在一点，使得在点的切线斜率为？
（3）求的取值范围．
解：（1）∵在和上有相反的单调性，
∴是的一个极值点．
故，即有一个解为，
∴．
（2）因为交轴于点，所以，即．
令，得，
∴，．
因为在和上有相反的单调性，
所以，
得．
假设存在点，使得在点的切线斜率为．
则，
即．
∵．
而，．
故不存在点，使得在点的切线斜率为．
（3）由题意，设的函数图象交轴于点的坐标为、点的坐标为．
则，
比较系数得．得．
所以，
，
，
∵，∴当时，；当时，．故．
解后反思：本题的第（2）、（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求的值，大大简化了运算．运用整体思想解题是不是很巧妙？这种整体思想在其它知识板块中都有广泛的应用，在以后的学习中可要留心哟．

分类讨论思想

分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的观点，注意在分类时要不重不漏．
例1已知，求的单调区间．
解：函数的导数.
（1）当时，若，则；若，则．
则在内为减函数，在内为增函数．
（2）当时，由或，
则在或内为增函数，在内为减函数．
（3）当时，由，
则在内为增函数，在和内为减函数．
从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理解给定区间上函数为增函数，函数为减函数．但要确定的符号，须对参数进行分类讨论．
例2已知，．
（1）求函数的最大值．
（2）设，证明：．
解：（1）的定义域是，则.
当时，；
当时，．
又，则当且仅当时，取最大值0．
（2）因，设．
则．
当时，，
因此在内为减函数；
当时，，
因此在内为增函数．
从而当时，有极小值．
又因，，
所以，即．
设，
则,
当时，，在上为减函数．
因为，，所以，
即．
所证结论成立．
该题属于典型利用导数证明其不等式的问题，一般方法是：先构造函数（多是作差函数），再用导数确定所构造函数的单调性来证明．在证明的过程中难免要分类处理，否则难以确定新函数的正负．


解题技巧

在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，下面为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分， 轻松拿下140+！
1 导数单调性、极值、最值的直接应用

2 交点与根的分布

3 不等式证明
（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

4 不等式恒成立求字母范围
（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

5 函数与导数性质的综合运用

6 导数应用题

7 导数结合三角函数

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