李邦河院士:数学玩的是概念,而不是纯粹的技巧

非常感谢市科协和我们的校领导给我这个机会，在这里和同学们见面，一起交流一下对数学的看法。首先我的题目是数的概念的发展，我猜想，相当一部分同学对这个题目不感兴趣，原因就是大多数人在中学学习数学时，会认为数学重要的不是概念，重要的是解题，比如几何题要会画辅助线，还有数学竞赛中比较难的题目。

那么数的概念是什么呢，大家知道有理数啊，一看就知道了，绝大多数同学不会去记这个定义，什么是有理数的定义？几何的概念也不易被重视，因为什么是三角形，正方形，矩形，菱形，一看就知道。中学数学容易给人一种错觉，概念是不重要的，对于数学重要的是技巧。很多人上了大学，哪怕是到了数学系也抱着这种看法。

根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。

技巧不足道也！熟能生巧，数学竞赛的人都是要培训的，巧都是学来的。数学概念是人类智慧的结晶，首要表现在概念的形成。

我们现在觉得自然数 1，2，3，4 很自然，但人类发展历史中能认识“1”是非常不简单的。早期人们并不知道“1”，“1”是从大量的“一头牛、一头羊” 中抽象出来的。所以从哲学的观点去想，“1”是了不起的，而“0”更是了不起。中国古代没有 0 这个数字，用算筹表示数字，一根筷子是 1，两根筷子是 2，用空着的位置表示 0。但 0.101 怎么表示，我不知道。最早是印度数学家发明 0 的，认识到 0 也是个数，要用圈这个符号来表示，是很了不起的。负数更是了不起，西方认识到负数是非常晚的，大概十四五世纪。

欧洲数学中几何出现比较早，欧几里得几何是希腊时期，公元前二三百年就有几何，但没有负数实数概念。当时如果比出来不是有理数的话还不能接受，叫不可公度；负数的观念这时也没有。但我们中国在公元前二三百年就有了负数概念，西汉时期《九章算术》有解线性方程组的消去法的完整步骤，就出现负数。

中国古代对无理数的概念在理论上是没有的，但在实际上是有的，小数后面多少位都行。比如π这个数，祖冲之曾算到 3.1416，并知道可以无限往下算，这就有了无穷逼近的思想，极限的观念基本上有了，但是概念上并没有明确提出。无理数概念的明确提出是到了微积分的时期，这时才对实数做了一个完整的描述，由柯西序列的等价类来定义，这个时候实数理论才完备。

真正搞数学的人知道要弄清楚这个也并不容易，进入高等数学后概念比较多，对概念不重视的人，学多了就糊涂了。微积分的概念还不是很多，但学高等代数、线性代数里面就有很多概念，如果不重视基本概念，对于知识爆炸的大学数学，你是学不好的。微积分里最大值最小值，微分中值定理你有没有记得很清楚，会不会用，泰勒展开的麦克劳林余项，有没有记着？

要用基本的东西去解决问题，而不是玩技巧，可以说用到某个定理就是最大的技巧。

中学数学里概念就很少，只能出很难的题，来看谁的水平高。到大学里重要的则是基本概念，这个东西掌握得很透，才能达到高水平。到了研究生之后，基础数学里面的代数数论、代数拓扑、微分拓扑里头，概念更是爆炸，都很难理解，不下功夫是不行的，因为对象很复杂。我希望喜欢数学的人千万要重视基本概念，不仅要记住，还要通过具体的例子来深入地理解。

那么什么是概念呢？概念是一个抽象的东西，它包含了大量的具体的东西。一个概念越抽象涵盖的具体的事物越多，即外延越广。比如，刚刚讲的“1”这个例子，它可以涵盖一个苹果、一个梨、一头牛。自然数是数学里最简单的了，可见我们的起步就很抽象。

抽象和具体也是相对而言。1，2，3，4 等对于具体事情来说是抽象的，而对于我们数学来说，又没有比它更具体的。有理数比整数复杂了一点，无理数更复杂，它是无限不循环小数，但这对于我们搞数学的来说都很具体。我们每上一个台阶，以前抽象的东西就具体了。客观世界非常复杂，有时候你不得不抽象，否则描述不了。

有理数、无理数之后是复数，这时候已经到了高斯的时代，在牛顿、莱布尼兹之后的时代还接受不了。首先是，

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