每日一题129|精选9道数学名校考研真题解答

发布于 2021-08-30 15:22 ，所属分类：试题库考试资料大全

  1. 判断级数与的敛散性.

解. 利用柯西收敛准则，任给，取，当时，对于任意有

即级数收敛，这也是Leibniz型级数.

下证第二个级数可考虑，有

显然这个级数是发散的正项级数，因此发散.

或可以这样考虑

由于一致收敛.

证明. (1) 先作变量代换，令，则

显然取，由于

则积分有界；而函数，当时趋于零，根据Dirichlet判别法可知收敛即证.

(2)显然不是瑕点，只需考虑无穷反常积分.由于

即当时有一致收敛且关于单调递减.对任意的，有

根据Dirichlet判别法可知一致收敛.

  1. 若定义在上的函数二阶可导, 且存在, 有界. 证明.

证明. 因在有界, 故在上一致连续. 存在, 说明有意义, 下证

若 则存在, 对于

 于是存在单调递增趋于, 且 由一致连续, 对于上述当时,
从而有

这与均收敛，则


即存在.若，不妨假定，则存在，使得

此时有


与题设矛盾，故此极限必须为零，否则积分发散，证毕.

  1. 讨论广义积分

敛散性.

解. 易知可设

故同样收敛;

故收敛.

  1. 设

证明. 不妨假定，对，存在使得

由题设知

即

因此可得

因此

  1. 计算极限

解. 由题知

故

  1. 设在可积，且在处连续，试证

证明. 因可积，即有界，则有使得

又 在 处连续，则对于有

注意到

因此

由于对该固定的 有

故，即

因此

  1. 试对满足 , 且 的一切函数 , 求最小值

解. 使用分部积分可得

从而

所以当 , 即

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