数学思想的重大变革,常量数学到变量数学

发布于 2021-03-26 07:38 ，所属分类：在线教育信息快讯

算术、初等代数、初等几何和三角，都是以不变的数量和固定的图形为其研究对象，也即常量是初等数学的主要内容。在现实世中“动”和“变”是永恒的、绝对的、普遍的，而常量数学只能有效地描述相对稳定的现象，不能描述运动和变化的现象，于是变量数学应运而生。从常量数学到变量数学是数学思想的一次根本变革，其其标志是解析几何的诞生和微积分的建立。

解析几何

解析几何通过坐标，把代数与几何结合在一起：实数与直线上的点成一一对应，而实数对与平面上的点成一一对应；平面上的曲线可用含两个变量的代数方程来表示，而一个含两个变量的代数方程表示着平面的曲。解析几何采用的方法是“把几何问题转化为代数计算的问题”。这种统一的代数方法，被应用于研究曲线具有什么样的几何性质，并由此发展出代数几何学的新思想；其次，突破了几何直观的限制，开拓了发展数学的新思路，提出了新的数学思想方法；第三，代数与几何的结合，揭示了数学内在的统一性。

微积分

变量数学发展的第二个重要阶段是微积分的创立，17世纪著名的数学家牛顿从运动学，莱布尼兹从几何学，分别独立研究和建立了微积分。微积分思想的出现，一方面向原有的常量数学渗透，使内容得到了极大的丰富，在思想方法上发生了深刻的变化。另一方面，催生了常微分方程论、偏微分方程论、微分几何、复变函数论、解析数论等新的数学分支，并且微积分的思想方法长期影响着数学发展的方向，在整个数学的发展中占了主导地位。微积分扩大了数学思想方法的应用领域，促进了自然科学学科的进一步发展。为唯物辩证法的普遍规律在数学上提供了例证。微积分中处处充满着矛盾：常量与变量、收敛与发散、有限与无限、近似与精确、连续与间断、微分与积分等。

衍生思想

变量思想衍生出了大量的新思想、新方法：集合思想，函数与方程思想，极限思想，数形结合思想等等。集合是现代数学中最基本的概念之一，被广泛应用于数学各分支学科中。集合的概念及运算常常体现在实际问题的解决中，常把某些具有共同属性或性质的事物视为一个整体，对其作统一的研究和处理。由于集合的元素是任意的对象，使数学应用的领域大大拓广。

函数思想的建立是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，用联系、变化的观点，建立各变量或集合间的“函数”关系，使数学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物（集合）间的相互联系，使数学由研究状态进到研究过程，进而引起了传统常量数学观点的更新，如方程、不等式、数列、三角学等内容都可以统归到函数思想下进行研究。

函数与方程是紧密联系的两个概念，方程可以理解为函数的零点问题，其求解可利用函数的有关性质和方法。方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求出未知量的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。