数学就是转化的学科,先人一步解决问题

解数学题时在考什么？

面对世界各国最顶尖的数学少年、最擅长解题的奥林匹克竞赛者，前苏联数学家、莫斯科大学教授C.A雅诺夫斯娅在《什么叫解题》演讲中的回答惊人简单，却揭示了数学家解题的基本策略：

“解题就是把要解的问题转化为已经解过的问题。”

其转化的核心在于把新知转化为旧知，把生题转化为熟题。这本质上与解题追求缩小已知与求解之间的差异，使未知向熟知转化，使求解系统趋近于目标系统的过程具有异曲同工之处。

所以每解一道试题，无论是难或易，都离不开转化。换句话说，也就是初中3年，每套试卷实际都在考查你的转化意识与转化能力。

初一考查数与数的转化，如：

整式的加减实质就是合并同类项，

整式的乘除实质就是单项式的乘除，

有理数的运算通过绝对值转化为算术数的运算

……

初二着重考查形与形的转化，如：

任意三角形转为特殊的三角形，

四边形转化为三角形；

当然还有各类方程的转化：

高次方程降为一次或二次，

分式方程去分母为整式方程，

多元方程消元为一元方程，

无理方程去根号为有理方程

……

初三深入考查数与形的转化，如：

一元二次方程或一元二次不等式与抛物线、二元一次方程与直线之间的转化……

还有几何图形中的全等与相似、有圆与无圆的转化；对数式、指数式、根式三者之间的转化……

而在中考数学和数学竞赛中，面对特定有限的考试时间，从何处下手，又向何方前进，能否在解题中灵活运用各种转化快速解题，更是取得中考好成绩的关键，繁复难解的考题背后实际暗藏这几大夺取高分的转化秘钥：

换元转化是方程向解转化的核心，是一种很常用的转化方式，尤其面对结构复杂的多项式时，若把其中部分看成整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化。分式方程转化为整式方程、无理方程转化为有理方程、代数式中的恒等变换等都可能需要换元。如：

据传，法国著名女数学家索菲·热尔曼曾经用因式分解的方法证明了如下问题：当自然数n>1时，形如的自然数必为合数。具体证明的关键就是通过添项分组，即

当直接分解因式难以进行时，可适当地拆项或添项进一步通过分组分解，如：

而不管是因式分解中的拆项、添项，还是化简求值中的代数式的变换，数与式的转化等其实都是通过变形转化。

从特殊到一般，从一般到特殊，两者的相互转化，是人类认识世界的一般规律，表现在数学解题中，思路探寻与解后反思就常经历这两个途径：

清晰地展示问题的特殊性；

深刻地呈现问题的一般性。

著名数学教育家波利亚曾说：“我们可从一个命题的极端情形来证明它存在的可能性”。

解数学题时如果从一般情况下入手难，很难得到答案或解题过程比较费时，不妨先考虑它的特殊情况。通过从简单情形看问题，把抽象理论置于具体的背景中，理出思路，最终达到解决问题的目的，如这道“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题：

以退为进，当取特殊值解题计算繁杂时，不妨通过分析、剥离、溯流探源，立于题根，理解问题的变化方式，找到更一般的简单证法，以一道北京市竞赛题为例：

数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，简单地说，就是研究数与形。

因此，数形结合是数学中的重要思想方法，两者的相互转化更是数学的重要特征，它包括两个方面：以数助形，以形辅数。

自学成才的中国当代著名数学家华罗庚就曾作诗云：

数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

由“形”思数可为形寻求其数（或式）的解释，现阶段即指运用以符示数、代数式、方程为工具研究图形，以一道世界数学团体锦标赛试题为例：

由“数”思形可为数寻求其形的直观表示，通过构造不同的图形，直观而形象地快速求解，如这道俄罗斯数学奥林匹克试题：

以上4种，只是转化的几种常用类型，在数学解题中转化秘钥还有很多，如常量与变量、静止与运动、抽象与具体、有限与无限、演绎与归纳……

但这些转化方法并不是孤立的、固定的，而是渗透交融相结合的，尤其在求解较为复杂的问题时，能否多转几个弯，是拉开考生分数高低的关键分水岭。

以一道天津市中考题压轴题为例，其综合应用了特殊与一般、数与形、构造等转化方法：

匈牙利女数学家路沙·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”

纵观数学史，可以看到：

难倒无数市民的世界名题哥尼斯堡七桥可抽象转化为简单的一笔画；

平面几何中，用尺规作图的三个不可能的问题都是通过转化为代数问题而得出结论；

通过牛顿-莱布尼兹公式，定积分与原函数这两个看似毫不相干的概念建立了联系，使求和式极限问题得以转化为求已知函数的原函数在区间上的增量，而这一转化是微积分史上重要的创新，促进了微积分的诞生与发展；

……

从一定意义上看，数学就是一门研究转化的学科，而掌握数与数、形与形、数与形之间的相互转化即意味着找到了那把提升解题能力，学好初中数学的秘钥，在待解决问题和已解决问题之间随时随地架起一个联系的桥梁，将复杂问题简单化，将难题容易化，最终先人一步快速破题。