2020-2021学年春夏学期期末考试题型讲评

如对考试分数等方面有问题请先看：

“关于考试的几个问题”

按惯例公共课补考一般安排在开学第二周周末，前几天开始有同学咨询期末考试的题型，下面就给出相关题型的解答过程，列举了部分典型的错误思路，需要的同学可以认真阅读，尤其需要补考的同学再看看，典型题的固定套路一定要掌握，对补考会有帮助的。

一、本大题共5小题，每小题6分，共30分：

这是第一章中最典型的矩阵运算题型，只考察对矩阵的简单运算的熟练程度，是最简单的一类送分题，近几年第一题差不多都是这类型的。

像上面这个转置不知怎么算出来的？这个都掌握不好，及格就很难了。

这个最后一步真的是画蛇添足啊！

注意画圈的部分，每年老师都会在课堂上强调，单位矩阵是主对角线上元素为1的对角型矩阵，其它位置都是0，不是所有元素都等于1！不知何故每次都会有同学犯这样的错误

下面两个写法供参考，注意两种写法的区别：

第2小题考查方程组解的判定问题，也是考试重点之一。具体过程可以用矩阵的秩，也可根据Cramer法则用行列式的值来解决：

这个同学前面的矩阵化简成阶梯形都还正常，看着马上有结果了，结果一步把矩阵等于一个数了，这里分数丢的可惜

这个过程通过化简矩阵，用秩判断结果。

这个则通过求行列式得出结果。

第3小题是一个行列式问题，需要熟练运用矩阵运算时其行列式的变化规律，也是平时练习的典型题，下面两种过程供参考：

第4小题是教材第3章出现的典型问题，只要说明出现的向量组是线性相关还是线性无关并附上理由即可，下面这个同学把3个向量中任意2个的线性相关性都说了，就是没有交待3个向量是否线性相关，算是答非所问吧：

这个过程是利用线性相关定义求解方程组，要说明方程组只有零解才是线性无关的，这个方程组显然不是只有零解的。

这个过程就写的比较清楚，所列方程组存在非零解，所以线性相关。

这个过程通过求秩判断线性相关性，简单可行

第5小题是关于矩阵特征值问题的典型题，看看下面三种错误解法有啥共性？

问题：若矩阵A与B相似，则A可经初等变换化成B，这个命题是对的；但是上面的解法忽视了一个问题，矩阵A若经过若干次初等变换变成与之相似的矩阵B，则其中经过的初等变换一定有特殊要求，换句话说，若矩阵A经若干次初等变换变成矩阵B，则矩阵A与B大概率不是相似的关系。

准确的说，“矩阵A与B相似”是“A可经初等变换化成B”的充分非必要条件，因此把矩阵A通过初等变换化简成矩阵B，不能保证矩阵A与B有相同的特征值。

类似的问题可参见之前发过的一篇图文(可到gongzhong号中“服务”中的“典型例题”页面中找“答疑题选2”)

正确的做法就是利用矩阵相似的性质和矩阵特征值的简单性质求解：

二、本大题共2小题，每小题5分，共10分：

第1小题又是典型题，考查的是对方程组解的结构的掌握程度。

上面的解法看起来莫名其妙，看来是跟其他问题解法混淆了，这也是部分平时不怎么花功夫做题的同学的典型表现，这样子要想及格可是比较困难啊。

注意划线那句话明显错误，应该是对方程组解向量的性质没有掌握。

这里划线的部分应该是齐次方程组的基础解系只有一个解向量，而不是方程组只有一个解！

注意这里的系数k是任意实数，没有非零的要求，不少同学把这里跟求特征向量时的要求混淆，要扣分的。

下面两种解法逻辑清楚，过程合理，供参考：

第2小题还是关于矩阵特征值性质的问题，下面解法供参考：

三，本大题共2小题，每小题10分，共20分：

第1小题是求向量组秩的典型例题，基本每次考试都有：

看这个解法下面画小圈的部分，错误是从这开始的，凡是看到在从行阶梯形到行最简形的化简过程中有这样的（用上面行的倍数加到下面行的）行变换，一般都是平时练习不到位、没有真正掌握这种典型题解题套路的同学。

上面解法两处有问题，一个是下部小圈画出的部分跟上一解法的错误相同，另外就是后面的向量表示式没有给出理由，结果也不对。

这个解法没有写出化简行最简形的过程，是一种不好的习惯，一旦结果不对，没有过程找不到给分点。

注意上面过程画圈的地方写等号是不对的，矩阵经过初等变换跟原来一般是不相等的，这样写要扣分，数学课程学习的一个目标就是培养严谨严密的习惯，所以希望大家注意这些细节。

这个过程基本是完整合理的，只可惜那个画圈的部分，跟上面说过的问题一样，这里是不相等的。

判断向量组的秩并找其极大无关组是第三章的典型题目，课堂上强调过，gongzhong号的典型例题中也特别总结过，这也算是每次考试中几乎都有的送分题之一，上面是推荐的解题过程。

第2小题是求解典型的矩阵方程，典型考题之一：

这是违背常识，很严重的错误了，注意画圈的部分，矩阵的乘法一般不具有交换律！矩阵A在方程左边是左因子，A的逆矩阵不应该成为右因子。

这个过程前半部分合理，中间画圈部分开始出错，这是有些同学稍一马虎就容易出现的问题，逆矩阵求错了，导致结果有问题，很是可惜。

这个解法虽然不太那么有技术含量，但是只要写好也没问题，这个同学最后一步是要干嘛？

这个过程就比较完整严谨。

这个是比较典型的解法，中间的逆矩阵求法还可以有些变化，供参考。

四，本大题共2小题，每小题10分，共20分：

第1小题是典型的行列式计算：

这又是一个按3阶行列式的计算式想当然写出来的算式，显然错误！超过3阶的行列式想这样写是不现实的（4阶以上的行列式计算，如果在行列式中像这样画一堆的线，基本上就不用看了）。

上面解法利用分块行列式性质，基本上没问题，可供参考。

这个跟上面的思路相同，写法更直接。

实际上这题也可以不考虑分块，直接化成上三角形计算也是可行的。

再看一种解法，初看跟上面的分块方法一样，实际上还挺独特的：

这个解法独特的地方是先计算矩阵A和B的乘积，然后再算乘积后的行列式。注意画线的这个等号，这个公式我们并没有直接讲过但确实成立，可用我们学过的两个公式推出来，不知道写这个过程的同学有没有想过这些细节，有兴趣的同学思考一下吧

第2小题是一个典型的方程组求解题，按求解的一般步骤即可。

我们曾经开玩笑说，如果线性代数只考一道题，那就应该是线性方程组求解的问题，话都说到这份上，还是有很多同学没有重视，这么典型的考题居然有很多同学被扣分，还有少数同学不会做，太可惜了 。

上面两处错误，一是前面画圈的部分把系数抄错，后面的结果可想而知，看过程这个同学对求解过程还是挺熟练的，可惜几乎不能得分，同学自己还完全没有感觉到问题，这也是部分同学考后觉得自己分数跟自己感觉差很多的一个原因；二是后面画圈的部分又跟特征向量的要求记混了。

上面同学的做法也算完整，可惜中间所有的矩阵全都写成行列式，不够严谨。

此处非齐次方程组的右端系数没有移动，不应变号，这里是常犯错误的知识点。

此处x3和x4的系数从方程左边移到右边需要变号，也是常犯错误的地方。

这个最后一行，非齐次方程组通解的结构没有掌握啊。

下面的求解过程比较完整，供参考：

五，15分：

第五题是矩阵对角化问题，典型题型，计算量稍大，分数也高：

先看合理的解法：

这题出错比较多，错误大概有三类：一是特征值求错，二是特征向量求错，三是对角化的充要条件没有掌握。

注意画圈部分导致后面特征多项式出错。

注意画圈的部分，平时练习时我们开过玩笑的，一般出题的老师不太可能出这种答案的题目，如果算出来的数字有点奇怪，要好好想想，确定一下是不是自己的问题。

上部的特征多项式中-A的部分，部分元素没有加负号，由于题目特殊，求出的特征值还是正确的，但到求特征向量的时候，这个错误就掩盖不住了……

还有，3阶矩阵A可对角化的充要条件是A有3个线性无关的特征向量，很多同学没有记住这个条件，做题的时候就应景现编

六，5分：

第六题是证明题，考察向量组线性相关性和方程组解向量的性质，以下思路供参考：

说完了，有问题就找老师答疑吧，祝大家学业顺利！