2021年复旦大学数学英才实验班选拔笔试试题

试题来源：知乎 Polonaise

1. 设；
   (2)．
2. 求证：

   并求其值．
3. 给定，是由个非零复数组成的集合，满足，．
   (1)证明：，．
   (2)求中所有元素的和．
4. 已知数列满足，，，证明：对任意奇素数，
5. 设．
   已知：若存在，当时，恒有，则有．
   证明：．
   (命题人提示：试比较与．)

复旦大学数学英才班简介

为响应国家关于加强数学人才培养的要求，作为“未来数学家摇篮工程”建设方案的内容之一，复旦大学数学科学学院和上海数学中心于2019年起启动实施了“数学英才试验班”计划。

“数学英才试验班”将通过课程改革、设立导师制、科研指导、国际交流等措施，营造一个促进优秀数学学生更好成长成才的环境，形成优秀学生共同学习、共同探讨的良好学习氛围，为培养优秀数学人才提供条件保障和环境建设。

“数学英才试验班”有独立的培养方案，力求帮助学生对于近现代数学建立比较完整的了解。学院、中心也会安排有一线科研及丰富教学经验的教师参与英才班的教学管理工作，通过近距离、个性化的指导，关心学生全方位成长，使教师在学生成长中真正起到“传道授业解惑”的作用。

英才班学生课程成绩不受常规课程成绩等第比例限制，毕业时达到学位要求者授予理学学士学位，达到荣誉项目要求者加授本科荣誉证书。同时鼓励优秀学生进入本硕博衔接培养轨道。英才班学生在第一、二学年实行流动制，每学年从数学科学学院同年级本科生中增补成员，同时安排自愿要求或学力无法达到要求的成员退出英才班，并可通过课程学分互认等方式允许退出者继续在数学科学学院完成本科学业。

“2021数学英才试验班”组班将在新生报到后第一周完成。有关“2021数学英才试验班”的信息将同时在数学科学学院（http://math.fudan.edu.cn/）及上海数学中心网站（http://www.scms.fudan.edu.cn/）发布。