高中数学------考点52 线性运算和几何意义

发布于 2021-09-13 13:07 ，所属分类：高考数学学习资料大全

【基础回顾】

一、课本基础提炼
向量的有关概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量共线．

5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．

向量的线性运算
　　

向量的数乘运算及其几何意义
1．定义：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λ，它的长度与方向规定如下：
　　①|λ|=λ||；
　　②当λ＞0时，λ的方向与，的方向相同；当λ＜0时，λ，的方向与，的方向相反；当λ=0时，λ，.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：
　　①；

　　②；

　　③.
　共线向量定理
　向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得.

二、二级结论必备

1.向量共线的充要条件中要注意，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

【技能方法】

1.向量的有关概念问题
　　了解向量的实际背景，考查平面向量的概念，理解共线向量，零向量，平行向量，两个向量相等的概念，理解向量的几何表示．
　　例1．以下说法正确的是（　　）
　A.零向量没有方向
　B.单位向量都相等
　C.共线向量又叫平行向量
　D.任何向量的模都是正实数
【答案】C
【解析】
　　零向量不是没有方向，规定零向量的方向任意，故A错；单位向量的模相等，都是1，但方向不同；故B错；共线向量就是平行向量，故C正确；零向量的模等于0，故D错．
【点评】
　　本题主要考查了向量的相关基本概念，掌握概念的关键字，正确理解概念是解题关键.

2.向量的线性运算
　　掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量的数乘运算及其几何意义.
　　例2.平行四边形OADB的对角线交点为C，，，，，用，表示，，.
　　

【解析】
　　

　　，

　　，

　　，

　　，

　　.
【点评】
　　本题通过图形中的位置关系，多次运用向量加法的三角形法则，从而求解.

3.共线向量
　　理解两个向量共线的含义，掌握共线向量的充要条件以及充要条件中的关键字.
　　例3.已知向量=(-1，2)，=(2，3)，若与共线，则实数λ的值是______．
【答案】-1
【解析】
　　，，又共线，则-(-λ+2)+3 ，(2λ+3=0)即：λ=-1；
【点评】
　　本题利用向量共线的坐标表示，建立关于λ的方程，从而求解.

【基础达标】

1.如下图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（　　）．
　　
　A.　　　　B.
　C.　　　　D.
【答案】D
【解析】
　　由已知，得，整理，
　　，可得，.

2.设P是△ABC所在平面内一点，则（　　）
　A．　　　　B．
　C．　　　　D．

【答案】C
【解析】
　　由题意可得，P是AC的中点，则.

3.已知向量是两个不共线的向量,若与共线,则λ=（　　）
　A．2　　B．-2　　C．　　D．

【答案】C
【解析】
　　由于共线，

　　∴，

　　∴，

　　∴，得．

4.已知向量=(m，1)，=(m²，2)，若存在λ∈R，使得，则m=（　　） .
　A.0 　　B.2　　C.0或2　　D.0或-2
【答案】C
【解析】
　　∵=(m，1)，，=(m²，2)，
　　∴(m+λm²，1+2λ)=(0，0)，即，∴.

5.设向量=(2，x-1)，=，则“x=3”是的（　　）
　A．充分而不必要条件
　B．必要而不充分条件
　C．充分必要条件
　D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】
　　充分性：当x=3 时，=(2，2)，=(4，4)

　　∴，∴成立，充分性成立；

　　必要性：∵且，

　　∴ 2×4=（x-1）•（x+1）解得 x=±3，必要性不成立，故为充分不必要条件.

【能力提升】

1.如图,在△ABC中，，P是BN上的一点,若，则实数M的值为（　　）
　　
　A.　　B.　　C.1　　D.3
【答案】A
【解析】
　　∵点P在BN上则存在实数λ使，

　　∴

，

　　∵，

　　∴，

　　∴，

　　∴，解得.

2.如图，平面内有三个向量，其中与夹角为120º，与的夹角为30º，且,若(λ,μ∈R)，则λ+μ的值为______．
　　
【答案】 6
【解析】
　　根据题意有，

　　，

　　∴，

同理可得，联立两个式子，可以解得 λ=4，μ=2

　　∴有λ+μ=6．

3.在四边形ABCD中，，

，则四边形的面积是______．
【答案】
【解析】
　　∵，

　　∴四边形ABCD为平行四边形，
　　又∵，

　　∴平行四边形ABCD为菱形，且∠ABC=120º，

　　因此

4.已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ=______．
【答案】.
【解析】
　　∵与共线，

　　∴存在唯一μ使2e₁-e₂=μ(e₁+λe₂)=μe₁+μλe₂，

　　∴μ=2，μλ=-1，λ=-.

5.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是中心，且，则λ₁+λ₂=______．
【答案】
【解析】
　　由题意得，△ABC为直角三角形，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(0，0)B（3，0）C（0，4）O（1，1），因此
（1,1）=λ₁（3,0）+λ₂（-3,4）3_λ1-3λ₂=1,4λ₂=1，

【终极突破】

1.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中,分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则a+b的最大值为（　　）。
　　
　A．2　　B．3　　C．4　　D．5
【答案】D
【解析】
　　建立如图所示的直角坐标系，设，则，，，
由得，解得，则a+b=4，对应的值为5，1再由对称性知对应的值分别为-4，-5，-1，由平面向量基本定理知所求最大值只能在这六个点中取得，故所所最大值为5，选D
　　

2．在平行四边形ABCD中，，，，M为BC的中点，则＝______(用，表示)．
【答案】.
【解析】
　　
.

3.如图，在△ABC中，已知∠BAC=，AB=2，AC=3，，，则______．
　　
【答案】
【解析】
　　∵，

　　∴

，因此

　　

4.如果A(3,1)，B（-2，K），C（8,11）三点共线，那么K的值为______.
【答案】-9.
【解析】
　　=(-5，k-1)，=(5，10)

　　∵三点A(3,1)，B（-2，K），C（8,11）共线，
　　∴存在实数λ，使得，
　　∴.