?2021新高一新高考数学必修二第八章立体几何初步8.5空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直

发布于 2021-11-06 22:32 ，所属分类：高考数学学习资料大全

2021新高一新高考数学必修二

第八章立体几何初步

8.6 空间直线、平面的垂直

8.6.2 直线与平面垂直

8.6.2　直线与平面垂直

学习目标1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题.

知识点一　直线与平面垂直的定义

定义	如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法	l⊥α
有关概念	直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
画法	画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

思考　空间两条直线垂直一定相交吗？

答案　不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.

知识点二　直线与平面垂直的判定定理

文字语言	如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言	l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言

思考若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？

答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.

知识点三　直线与平面所成的角

有关概念		对应图形
斜线	一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足	斜线和平面的交点，图中点A
射影	过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角	定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围	设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°

知识点四　直线与平面垂直的性质定理

文字语言	垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言	⇒a∥b
图形语言

注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

思考垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？

答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.

1.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)

2.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.(×)

3.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.(√)

4.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(√)

一、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解

例1下列命题中，正确的序号是________.

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

答案　③④

解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.

反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.

跟踪训练1(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()

A.平面OAB B.平面OAC

C.平面OBC D.平面ABC

(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)

答案　(1)C(2)①③④

解析　(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

二、直线与平面垂直的判定

例2如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

证明　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.

反思感悟　利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.

(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.

(3)根据判定定理得出结论.

跟踪训练2如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.

(1)求证：AN⊥平面PBM；

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.

证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，

∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，

∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，

∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，

PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.

三、直线与平面垂直的性质

例3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.

证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，

又AB∥CD，∴AE⊥CD.

∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.

又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD.

∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.

又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，

∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.

反思感悟　证明线线平行的常用方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

跟踪训练3如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.

证明　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.

∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.

又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

∴a⊥平面PAB.

∴a∥l.

求直线与平面所成的角

典例　如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

(1)求A₁B与平面AA₁D₁D所成的角；

(2)求A₁B与平面BB₁D₁D所成的角.

解　(1)∵AB⊥平面AA₁D₁D，

∴∠AA₁B就是A₁B与平面AA₁D₁D所成的角，

在Rt△AA₁B中，∠BAA₁＝90°，AB＝AA₁，

∴∠AA₁B＝45°，

∴A₁B与平面AA₁D₁D所成的角是45°.

(2)连接A₁C₁交B₁D₁于点O，连接BO.

∵A₁O⊥B₁D₁，BB₁⊥A₁O，BB₁∩B₁D₁＝B₁，BB₁，B₁D₁⊂平面BB₁D₁D，

∴A₁O⊥平面BB₁D₁D，

∴∠A₁BO就是A₁B与平面BB₁D₁D所成的角.

设正方体的棱长为1，则A₁B＝，A₁O＝.

又∵∠A₁OB＝90°，

∴sin∠A₁BO＝＝，又0°≤∠A₁BO≤90°，

∴∠A₁BO＝30°，

∴A₁B与平面BB₁D₁D所成的角是30°.

[素养提升]求直线与平面所成角的步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

1.在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的六个面中，与AA₁垂直的平面的个数是()

A.1 B.2C.3 D.6

答案　B

2.给出下列三个命题：

①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；

②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；

③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.

其中正确的个数是()

A.0 B.1C.2 D.3

答案　C

解析　①错，②③对.

3.(多选)在空间中，下列哪些命题是正确的()

A.平行于同一条直线的两条直线互相平行

B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.平行于同一个平面的两条直线互相平行

D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行

答案　AD

4.下列命题正确的是()

①⇒b⊥α；　②⇒b∥α；③⇒b⊥α.

A.①② B.①③C.②③ D.①

答案　D

5.如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，与AD₁垂直的平面是()

A.平面DD₁C₁C

B.平面A₁DB₁

C.平面A₁B₁C₁D₁

D.平面A₁DB

答案　B

解析　∵AD₁⊥A₁D，AD₁⊥A₁B₁，A₁D∩A₁B₁＝A₁，A₁D，A₁B₁⊂平面A₁DB₁，

∴AD₁⊥平面A₁DB₁.

1.知识清单：

(1)直线与平面垂直的定义.

(2)直线与平面垂直的判定定理.

(3)直线与平面垂直的性质定理.

2.方法归纳：转化思想.

3.常见误区：判定定理理解“平面内找两条相交直线”与该直线垂直.

1.空间中直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()

A.平行 B.垂直

C.相交 D.不确定

答案　B

解析　由于直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

2.给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：

①l垂直于α内三条不都平行的直线；

②l垂直于α内无数条直线；

③l垂直于α内正六边形的三条边.

其中能得出l⊥α的所有条件序号是()

A.② B.①C.①③ D.③

答案　C

3.下列说法中，正确的有()

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.

A.1个B.2个 C.3个 D.4个

答案　C

解析　①不正确，其他三项均正确.

4.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是()

A.平行 B.垂直相交

C.垂直但不相交 D.相交但不垂直

答案　C

解析　连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.

5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()

A.异面 B.平行

C.垂直 D.不确定

答案　C

解析　∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，

又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，

又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，

∴l⊥平面ABC，

又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.

6.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.

答案　a与b相交

7.a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________.

答案　平行

解析　由线面垂直的性质定理可得.

8.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.

答案　45°

解析　因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°

9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.

证明　在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，

可得PA²＋AD²＝PD²，即AD⊥PA.

又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB.

10.如图，正方体A₁B₁C₁D₁－ABCD中，EF与异面直线AC，A₁D都垂直相交.求证：EF∥BD₁.

证明　如图所示，连接AB₁，B₁D₁，B₁C，BD，

∵DD₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD₁⊥AC.

又AC⊥BD，DD₁∩BD＝D，DD₁，BD⊂平面BDD₁B₁，

∴AC⊥平面BDD₁B₁，

又BD₁⊂平面BDD₁B₁，∴AC⊥BD₁.

同理可证BD₁⊥B₁C，

又AC∩B₁C＝C，AC，B₁C⊂平面AB₁C，

∴BD₁⊥平面AB₁C.

∵EF⊥A₁D，A₁D∥B₁C，∴EF⊥B₁C.

又∵EF⊥AC，AC∩B₁C＝C，AC，B₁C⊂平面AB₁C，

∴EF⊥平面AB₁C，∴EF∥BD₁.

11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()

A.AG⊥△EFH所在平面

B.AH⊥△EFH所在平面

C.HF⊥△AEF所在平面

D.HG⊥△AEF所在平面

答案　B

解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，可推出AH⊥平面EFH.

12.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有()

①BC⊥平面PAB；

②AD⊥PC；

③AD⊥平面PBC；

④PB⊥平面ADC.

A.1个B.2个 C.3个 D.4个

答案　C

解析　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，故①正确；

由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，

又PA＝AB，D是PB的中点，

∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②③正确.

13.如图所示，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，若AB∶BB₁＝∶1，则AB₁与平面BB₁C₁C所成角的大小为()

A.45° B.60°

C.30° D.75°

答案　A

解析　取BC的中点D，连接AD，B₁D，

∵AD⊥BC且AD⊥BB₁，BC∩BB₁＝B，BC，BB₁⊂平面BCC₁B₁，

∴AD⊥平面BCC₁B₁，

∴∠AB₁D即为AB₁与平面BB₁C₁C所成的角.

设AB＝，则AA₁＝1，AD＝，AB₁＝，

∴sin∠AB₁D＝＝，∴∠AB₁D＝45°.

14.如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，BC＝CC₁，当底面A₁B₁C₁满足条件________时，有AB₁⊥BC₁.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)

答案　∠A₁C₁B₁＝90°

解析　如图所示，连接B₁C，由BC＝CC₁，可得BC₁⊥B₁C，因此，要证AB₁⊥BC₁，则只要证明BC₁⊥平面AB₁C，即只要证AC⊥BC₁即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A₁C₁∥AC，B₁C₁∥BC，故只要证A₁C₁⊥B₁C₁即可.(或者能推出A₁C₁⊥B₁C₁的条件，如∠A₁C₁B₁＝90°等)

15.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

答案　ABC

解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确.