2021新高二新高考数学选择性必修一第三章3.2.1双曲线及其标准方程第1课时双曲线及其标准方程

2021新高二新高考数学选择性必修一

第三章§3.2.1双曲线及其标准方程

第1课时双曲线及其标准方程

§3.2　双曲线

3．2.1　双曲线及其标准方程

第1课时　双曲线及其标准方程

学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法．

导语

我们知道，平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹是椭圆．那么，与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？

一、双曲线的定义

问题1如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点．在平面内，取定点F₁，F₂，以点F₁为圆心、线段PA为半径作圆，再以F₂为圆心、线段PB为半径作圆．我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|F₁F₂|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F₁F₂|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹．

如图，在|F₁F₂|＞|AB|的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？

提示　如题图，曲线上的点满足条件：|MF₁|－|MF₂|＝常数．

知识梳理

一般地，把平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

注意点：

(1)常数要小于两个定点的距离．

(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．

(3)当2a＝|F₁F₂|时，动点的轨迹是以F₁，F₂为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．

(4)当2a>|F₁F₂|时，动点的轨迹不存在．

(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F₁F₂的垂直平分线．

例1已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为()

A．双曲线或一条直线

B．双曲线或两条直线

C．双曲线一支或一条直线

D．双曲线一支或一条射线

答案　D

解析　当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，

∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．

当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，

∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．

反思感悟　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件．

跟踪训练1已知F₁(－8,3)，F₂(2,3)，动点P满足|PF₁|－|PF₂|＝10，则P点的轨迹是()

A．双曲线 B．双曲线的一支

C．直线 D．一条射线

答案　D

解析　F₁，F₂是定点，且|F₁F₂|＝10，所以满足条件|PF₁|－|PF₂|＝10的点P的轨迹应为一条射线．

二、双曲线的标准方程及其推导过程

问题2类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？

提示　观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F₁F₂是它的一条对称轴，所以以F₁，F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，

此时双曲线的焦点分别为F₁(－c,0)，F₂ (c,0)，焦距为2c，c>0.

设P(x，y)是双曲线上一点，则

||PF₁|－|PF₂||＝2a(a为大于0的常数)，

因为|PF₁|＝，|PF₂|＝，

所以－＝±2a，①

类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c²－a²)x²－a²y²＝a²(c²－a²)，两边同除以a²(c²－a²)，得－＝1.

由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c²－a²>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b²＝c²－a²，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．

问题3设双曲线的焦点为 F₁和F₂，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF₁|－|PF₂||＝2a，其中c>a>0 ，以F₁，F₂所在直线为y轴，线段F₁F₂的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？

提示　－＝1(a>0，b>0)．

知识梳理

双曲线的标准方程

焦点位置	焦点在x轴上	焦点在y轴上
图形
标准方程	－＝1(a>0，b>0)	－＝1(a>0，b>0)
焦点	F1(－c,0)，F2(c,0)	F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系	b2＝c2－a2

注意点：

(1)若x²项的系数为正，则焦点在x轴上；若y²项的系数为正，那么焦点在y轴上．

(2)a与b没有大小关系．

(3)a，b，c的关系满足c²＝a²＋b².

例2(1)以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．

答案　－＝1

解析　由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.

设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，

则有a²＋b²＝c²＝8，－＝1，

解得a²＝3，b²＝5.

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

(2)求过点P，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．

解　设双曲线的方程为Ax²＋By²＝1，AB<0.

因为点P，Q在双曲线上，

则解得

故双曲线的标准方程为－＝1.

反思感悟　双曲线的标准方程

(1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．

(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．

跟踪训练2焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．

答案　－＝1

解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

将点(4，－2)和(2，2)代入方程得

解得a²＝8，b²＝4，

所以双曲线的标准方程为－＝1.

三、双曲线定义的简单应用

例3(1)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线E上，且|PF₁|＝3，则|PF₂|等于()

A．11B．9 C．5 D．3

答案　B

解析　由题意得||PF₁|－|PF₂||＝6，

∴|PF₂|＝|PF₁|±6，∴|PF₂|＝9或－3(舍去)，故选B.

(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F₁，F₂.若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂＝60°，求△F₁PF₂的面积．

解　由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.

由双曲线的定义和余弦定理得|PF₁|－|PF₂|＝±6，

|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁||PF₂|cos 60°，

所以10²＝(|PF₁|－|PF₂|)²＋|PF₁|·|PF₂|，

所以|PF₁|·|PF₂|＝64，

所以＝|PF₁|·|PF₂|·sin ∠F₁PF₂

＝×64×＝16.

反思感悟　双曲线的定义的应用

(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．

(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．

跟踪训练3设F₁，F₂分别是双曲线x²－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF₁|＝4|PF₂|，则△PF₁F₂的面积等于()

A．4 B．8 C．24 D．48

答案　C

解析　由解得|PF₁|＝8，|PF₂|＝6.

在△PF₁F₂中，|PF₁|＝8，|PF₂|＝6，|F₁F₂|＝10，

∴△PF₁F₂为直角三角形，

∴＝|PF₁||PF₂|＝24.

1．知识清单：

(1)双曲线的定义．

(2)双曲线的标准方程及其推导过程．

(3)双曲线定义的简单应用．

2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．

3．常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件．

1．已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是()

A．椭圆 B．双曲线

C．两条射线 D．双曲线的一支

答案　B

解析　设A(1,0)，B(－1,0)，

则由已知得||PA－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线．

2．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是()

A．－2＜m＜2 B．m＞0

C．m≥0 D．|m|≥2

答案　A

解析　∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.

∴－2＜m＜2.

3．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为()

A．1 B．1或－2

C．1或 D.

答案　A

解析　由题意知解得a＝1.

4．已知双曲线的焦点分别为F₁(0，－3)，F₂(0,3)，P是双曲线上一点且||PF₁|－|PF₂||＝4，则双曲线的标准方程为()

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

答案　C

解析　由双曲线的定义可得c＝3,2a＝4，即a＝2，b²＝c²－a²＝9－4＝5，且焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1.

课时对点练

1．双曲线C的两焦点分别为(－6,0)，(6,0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为()

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

答案　B

解析　2a＝|－|＝4，

所以a＝2，

又c＝6，

所以b²＝c²－a²＝36－20＝16.

所以双曲线的标准方程为－＝1.

2．已知方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是()

A．(－1，＋∞) B．(2，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－1,2)

答案　D

解析　∵方程＋＝1表示双曲线，

∴(m－2)(m＋1)<0，

解得－1<m<2，

∴m的取值范围是(－1,2)．

3．若双曲线方程为x²－2y²＝1，则它的右焦点坐标为()

A. B.

C. D．(，0)

答案　B

解析　将双曲线方程化为标准方程为x²－＝1，

∴a²＝1，b²＝，

∴c²＝a²＋b²＝，

∴c＝，

故右焦点坐标为.

4．(多选)双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()

A．17B．7 C．22 D．2

答案　CD

解析　设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F₁，F₂，

则a＝5，b＝3，c＝，

设P为双曲线上一点，不妨令|PF₁|＝12(12>a＋c＝5＋)，

∴点P可能在左支，也可能在右支，

由||PF₁|－|PF₂||＝2a＝10，

得|12－|PF₂||＝10，

∴|PF₂|＝22或2.

∴点P到另一个焦点的距离是22或2.

5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F₁，F₂为其两个焦点，若过焦点F₁的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF₂的周长为()

A．4a B．4a－m

C．4a＋2m D．4a－2m

答案　C

解析　不妨设|AF₂|>|AF₁|，

由双曲线的定义，知|AF₂|－|AF₁|＝2a，|BF₂|－|BF₁|＝2a，

所以|AF₂|＋|BF₂|＝(|AF₁|＋|BF₁|)＋4a＝m＋4a，

于是△ABF₂的周长l＝|AF₂|＋|BF₂|＋|AB|＝4a＋2m.

6．已知双曲线－＝1上一点P到左焦点F₁的距离为10，则PF₁的中点N到坐标原点O的距离为()

A．3或7 B．6或14

C．3 D．7

答案　A

解析　设F₂是双曲线的右焦点，

连接ON(图略)，ON是△PF₁F₂的中位线，

∴|ON|＝|PF₂|，

∵||PF₁|－|PF₂||＝4，|PF₁|＝10，

∴|PF₂|＝14或6，

∴|ON|＝|PF₂|＝7或3.

7．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为________．

答案　－＝1

解析　设焦点为F₁(－c,0)，F₂(c,0)(c>0)，

则由QF₁⊥QF₂，得＝－1，

∴·＝－1，∴c＝5.

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

∵双曲线过点P(4，－3)，

∴－＝1，

又∵c²＝a²＋b²＝25，

∴a²＝16，b²＝9.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

8．设F₁，F₂分别是双曲线x²－＝1的左、右焦点．若P在双曲线上，且·＝0，则|＋|的值为________．

答案　2

解析　由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为

F₁(－，0)，F₂(，0)．

设点P(x，y)，

则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．

∵·＝0，

∴x²＋y²－10＝0，即x²＋y²＝10.

∴|＋|＝＝＝2.

9．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．

解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，

所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.

由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.

所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.

以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．

设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

由|PM|－|PN|＝4，

得2a＝4，a＝2，a²＝4.

由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c²＝100，

所以b²＝c²－a²＝100－4＝96，

故所求方程为－＝1(x>2)．

10．如图，若F₁，F₂是双曲线－＝1的两个焦点.

(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；

(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF₁|·|PF₂|＝32，试求△F₁PF₂的面积．

解　(1)F₁，F₂是双曲线－＝1的两个焦点，

则a＝3，b＝4，c＝5，

设点M到另一个焦点的距离为m，

由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6，

解得m＝10或m＝22，

即点M到另一个焦点的距离为10或22.

(2)P是双曲线左支上的点，|PF₂|－|PF₁|＝2a＝6，

则|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|＋|PF₁|²＝36，

代入|PF₁|·|PF₂|＝32，

可得|PF₁|²＋|PF₂|²＝36＋2×32＝100，

即|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²＝100，

所以△F₁PF₂为直角三角形，

所以＝|PF₁|·|PF₂|＝×32＝16.

11．设椭圆＋＝1和双曲线－y²＝1的公共焦点为F₁，F₂，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F₁PF₂等于()

A. B.

C. D.

答案　B

解析　设|PF₁|＝d₁，|PF₂|＝d₂，

则d₁＋d₂＝2，①

|d₁－d₂|＝2，②

①²＋②²，得d＋d＝18.

①²－②²，得2d₁d₂＝6.

而c＝2，

∴cos∠F₁PF₂＝.

12．双曲线x²－y²＝1的左、右焦点分别为F₁，F₂，双曲线上的点P满足∠F₁PF₂＝60°，则|PF₁|·|PF₂|等于()

A．1B．4 C．7 D．9

答案　B

解析　在双曲线x²－y²＝1中，a＝b＝1，c＝，

设P在右支上，

则|PF₁|－|PF₂|＝2a＝2，

∵∠F₁PF₂＝60°，

在△PF₁F₂中，由余弦定理可得|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁||PF₂|cos 60°

＝(|PF₁|－|PF₂|)²＋2|PF₁||PF₂|－|PF₁||PF₂|，

即4c²＝4a²＋|PF₁|·|PF₂|，

即|PF₁|·|PF₂∣＝4c²－4a²＝4b²＝4.

13．动圆与圆x²＋y²＝1和x²＋y²－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是()

A．双曲线的一支 B．圆

C．椭圆 D．双曲线

答案　A

解析　设动圆的圆心为M，半径为r，圆x²＋y²＝1与x²＋y²－8x＋12＝0的圆心分别为O₁和O₂，半径分别为1和2，

由两圆外切的充要条件，得

|MO₁|＝r＋1，|MO₂|＝r＋2.

∴|MO₂|－|MO₁|＝1，

又|O₁O₂|＝4，

∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O₁)．

14．(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F₁，F₂是双曲线C的左、右焦点，若△PF₁F₂的面积为20，则下列说法正确的有()

A．点P到x轴的距离为

B．|PF₁|＋|PF₂|＝

C．△PF₁F₂为钝角三角形

D．∠F₁PF₂＝

答案　BC

解析　因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为＝·2c|y_P|＝·10·|y_P|＝20，所以|y_P|＝4，所以选项A错误；

将|y_P|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|x_P|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF₂|＝＝.由双曲线定义可知|PF₁|＝|PF₂|＋2a＝＋8＝，所以|PF₁|＋|PF₂|＝＋＝，所以选项B正确；

由对称性，对于点P，在△PF₁F₂中，|PF₁|＝>2c＝10>|PF₂|＝.且cos∠PF₂F₁＝＝－<0，则∠PF₂F₁为钝角，所以△PF₁F₂为钝角三角形，选项C正确；

由余弦定理得

cos∠F₁PF₂＝＝≠，∠F₁PF₂≠，所以选项D错误．

15．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF₁F₂的内心．若，则△MF₁F₂的面积为()

A．2 B．10 C．8 D．6

答案B

解析　设△PF₁F₂的内切圆的半径为R，

由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.

因为，

所以(|PF₁|－|PF₂|)R＝8，即aR＝8，

所以R＝2，

所以＝·2c·R＝10.

16.如图所示，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F₁，F₂为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F₁PF₂＝60°，＝12，求双曲线的标准方程．

解　由题意得||PF₁|－|PF₂||＝2a，

在△F₁PF₂中，由余弦定理得

cos 60°＝

＝，

∴|PF₁|·|PF₂|＝4(c²－a²)＝4b².

∴＝|PF₁||PF₂|·sin 60°＝2b²·＝b².

∴b²＝12，b²＝12.

由c＝2a，c²＝a²＋b²，得a²＝4.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

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