【八年级数学专题】平行四边形基础例题解析

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，DC＝5，BC＝3，则EC的长是（　　）

A. 1 B. 1.5 C．2 D．3

【重要分析】

平行线段+角平分线模型，易得等腰三角形。

图中△ADE就是等腰三角形。

【答案】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝3，

∴AD＝BC＝3，DC∥AB，

∴∠BAE＝∠AED，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠AED＝∠DAE，

∴AD＝DE＝3，

∵DC＝5，

∴EC＝DC﹣DE＝5﹣3＝2，

故选：C．

下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（　　）

①AB∥CD，AD＝BC；

②AB＝CD，AD＝BC；

③∠A＝∠B，∠C＝∠D；

④AB＝AD，CB＝CD

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】

解：

①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；

②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；

③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；

④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；

能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，

故选：A．

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN

（1）求证：BE＝DF；

（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．

【思考过程】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，证出∠BAE＝∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质得出得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME＝FN，即可证出四边形MENF是平行四边形．

【答案】

（1）证明；∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D，∠DAE＝∠AEB，∠DFC＝∠BCF，

∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，

∴∠BAE＝∠DAE＝1/2 ∠BAD

∠BCF＝∠DCF＝1/2 ∠DCB

∴∠BAE＝∠DCF

∴△BAE≌△DCF（ASA）

∴BE＝DF；

（2）证明：∵△BAE≌△DCF

∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC

∴∠AEB＝∠BCF

∴AE∥CF

∵点M、N分别为AE、CF的中点

∴ME∥FN，ME＝FN

∴四边形FMEN是平行四边形．

如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是（　　）

A．9° B．18° C．27° D．36°

【思路分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【答案】

解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点

∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线

∴PF＝1/2BC

PE＝1/2AD

∵AD＝BC，

∴PF＝PE，

故△EPF是等腰三角形

∵∠PEF＝18°，

∴∠PEF＝∠PFE＝18°

故选：B