马茂年|奥数分享(2):一道染色问题的积分证明

发布于 2021-04-09 17:06 ，所属分类：知识学习综合资讯

奥数如何学？

实际上学好奥数也简单！

数学竞赛的意义

数学竞赛是一种业余的学术性活动，竞赛的目的是激发学生学习数学的兴趣，竞赛中可以发现一些在数学学习方面有特殊才能的学生，可以及早注意对他们的培养和教育，这样不仅可以帮助中学提高数学教学质量，对加速我国社会主义建设事业也是十分有利的。我们数学教师既要坚守教育公平，有教无类，认真负责地完成好教材规定的教学内容，使大家都能健康地发展，同时对学有余力的学生和数学爱好者，也能发挥其特长，组建兴趣小组，组织他们阅读课外读物，举办数学文化研习活动，扩大他们的知识面和社会视野，使他们能够茁壮地成长，这同样是我们贯彻“因材施教”原则的义不容辞的职责。我们要知道，没有现代数学就不会有现代文化，要提高中华民族的文化素质，要建成科技强国，数学研究必须赶超或者走在世界最高水平。这需要一大批有志的年轻人具有甘于寂寞、坐冷板凳的毅力，献身于包括数学及数学竞赛在内的现代基础科学的研究。

课内数学是基础

要搞好奥数，实际上学好课内数学是基础。高一、高二是数学新知识的学习很重要，首先，要培养数学学习的兴趣，不想搞数学竞赛的同学也可以上一个比课内略难的数学课外班或是自己多钻研，能很快建立自信，更容易发现数学的美，爱上数学和数学课。其次，平时数学学习时，若遇到部分数学课堂和课外作业有一定的挑战性时，建议把每道题都能彻底吃透，如果把高一、高二两年的这些习题全掌握透彻了，你到高三时，数学也就轻松了。再时，数学课有可能老师讲的题目略难，注意你别灰心，因为老师讲课基本上都是由易到难的，只要你认真掌握每一个相对简单的环节，到时，你碰到难题也就可以很快上手了，特别要注意，遇到难题时别断定自己不会，然后等着老师讲，你必须，哪怕稍微试一试也说不定发现它其实便不那么难。最后，实际上老师上课很多时候时没有讲义的，所以你的课堂听课，记好笔记也许是很重要的。

高考数学很重要

高三的数学备考，题海战术不是成功的必经之路，重点在于理解，思考和掌握。一定的刷题量不可或缺，但学校练的题目不少了，额外练题目不见得一定有必要，“软作业”也不一定要做（因人而异）。宁愿少做新题也要多看错题，多总结，理解和深入思考。最好整理出各个模块对应的易错点和解题方法，并把它们熟练通透地掌握，以不变应万变。对于搞奥数的同学，高三练的题目也许会觉得相对简单，但别掉以轻心，认真对待每一次考试，每次考试前最好把高一、高二的笔记和错题全翻一遍，让自己掌握透彻难题解法，且也有助于自己无死角地掌握知识（即使一轮复习也不可能有学新课时学的全面），及时做好梳理总结与深入思考的良好学习习惯。平时高考题练习时，可以优先学习做法，之后还需学习答案的写法格式，或找老师请教规范写法（如反证法、数学归纳法格式等）。

理想奥数学习法

数学竞赛的学习与参与，实际上最好是可以组成一个学习团队，几个水平参不多的人一起做题，或者多人一起来个经常的做题比赛，大家一起开起思维完成一道题的求解过程，这种学习做题的方法是很好的，多人做题是一种相当有效的学习方法（当然依旧要自己下功夫），因为他能让你跳出思维定式，学习他人的长处和不一样的思维，同时对于思维链条较长的难题而言能加快解决题目的时间，和其他同学一起思考一道题目可以有更全面的认识。

平时竞赛学习，需要经常进行题型总结和探究式学习并行，做奥数题时，题目总结梳理应该像平时课内数学知识学习的方法，以便熟悉奥数解题的套路；探究式学习则是竞赛题特有的过程（对于奥数学生来说，高考题好像的确没什么可探究的），它能培养自己寻找解题思路开发数学思维的能力。实际上套路和创新势必会发生矛盾，此时在学习时应该努力做到二者兼顾，不可偏重一方。学奥数及做奥数题，一定要养成自已有做题成功想法的价值判断能力，做一道题目时可以把可行的思路都列在纸上，在完成这道题目时回顾想一想这个思路在这里为什么走不通，它在什么地方能走得通，进而提炼出某个想法的适用范围和特点，这样能帮助自己在之后做题时判断自己突然思维开巧的价值。

一试加试后高考

要学好奥数，最好是要系统地过一遍一试、二试的基础知识（可能有些地方没学明白，这很正常）。高中数学联赛分为一试、二试两个部分，一试满分120分，共11道小题，二试满分180分，共四道大题。

一试：一试的意义在联赛中是很明显的，它每题分值小，对于二试分数接近的同学而言，一试至关重要，所以它很大程度影响一个人是二等奖的前几名，还是一等奖或省队或未进省队的前几名。提高一试的成绩，最重要的是联赛真题训练，联赛真题的风格和模拟题大不相符，难度也不一样，所以建议大家考试之前一段时间把联赛改制之后的所有题全都做一遍，总结一遍联赛真题的考点（在这之前甚至一道真题都不要碰）。对于模拟题，不一定能得到很高的分，但别太当真，40-50分都很正常，估计联赛之前的暑假建议至少达到20套模拟题的训练量。

练习时，首先，一定要限时做，认真书写过程，每次总结自己做题时心态和时间分配的优劣。其次，做题时要体会快速开起自己脑子思维时的感觉（这是一试和二试的区别之一，也可能是二试和冬令营的最大区别），思考如何在紧张的时间中快速找到思路拿下一道题。再是，根据每个人不同的特点，可以把一试所有知识点做几张活页纸，每遇到这个知识点的一个方法就把它记在这个纸上，做成一个方法大全（这在一试格外管用），可以反复翻看这个本子。

加试：加试的准备，人与人之间差距比较大，不好一概而论。间隔地安排模拟题和模块专题的训练是最好的方法，模拟题练习可以提高探究能力、应考能力和应变能力，但模块专题，也需要专项突破，根据情况需要合理安排，模拟题做烦了就去刷专题，专题刷腻了就做模拟题，也是极好的学习方法。突破加试，平时还要注意调节情绪，如果你特别重视联赛，考前可能会异常兴奋、恍惚、焦虑、暴躁，实际上我们可通过和小伙伴聊天、运动、音乐等各种能用的方法保持一个好心态。若要二试突破，希望冲上一等奖或者更好的话，也可以通过补弱项等方式达到每个模块的简单题（联赛1，2题）能够稳拿，而不是某个模块题能稳拿，这是因为你无法提前预知今年的出题顺序，因此还是要达到每个模块都能做出1、2难度的题的水平。不过也随水平而异，一般而言似乎几何相对可以稳定拿下，所以可以多用点力。

高考：针对联赛之后回归的同学，学好高考各学科也是很重要的。首先恭喜你们可以赶上几乎全部的一轮复习，一轮复习几乎非常详细地把学科的知识和题目重新讲述了一遍，除去通过一轮复习夯实基础之外，我们需要思考的是自己和高考生还有什么差距，哪些差距是自己需要额外下功夫的。比如像化学有机题，考前做5道就能提高的“手感”题型，就不属于上面所说的差距。由于时间有限，我们需要对着高考题型，在向老师和学长求教后知道哪些事情是慢功夫，需要从一轮就得开始追才能在高考前追上（比如语文作文/英语完型），当然对于有些学生而言其实所有东西都可以一两周学会。如果能完成一个高效的一轮复习，其实自己和高考生的差距就不那么大了，后面按自己思路来就行。数学高考和数学竞赛的区别是什么？高考更考察类似于一试的短时间调动大脑思维的能力（语文英语也是如此，比如微写作写个漂亮句子），更注重梳理而非创新，同时理化生的思维是实验科学的思维，这和数学的逻辑不同。

技巧心态很重要

奥数学习和考试要突破，重视基础以及考场应试技巧有一定关系，一试非常重要，一定要重视，二试不一定能稳定发挥好，而一试通过多练是可以做到相对稳定的。模拟题有时难度过大或偏，可以适当练但最后十天就不必做了。可以隔几天刷一套一试真题并计时判分，总结经验教训。做完它们后，建议总结出一试题目的考察知识模块大全（二试也有必要总结）及每个模块的知识（定理）和方法（思路），可以把近十年真题中出现的知识和方法全囊括进去，考场上不会的时候就把这些方法换着试，就基本够用了。二试心态要好。遇到题目特别难的情况也别慌，别放弃，静下心慢慢思考，把两个半小时充分利用，过程写好。会到哪步就至少写到那一步，猜出来很简单的答案和构造也应该写，别认为那里没有采分点就不写了。可以写的尽量详细，使老师很容易抓住其中的采分点，不会的题目也可以写一些思路。

作者简介

马茂年，男，1963年出生，中共党员，浙江省特级教师，正高级教师，浙师大硕士生导师，杭师大硕士生导师，浙江外语学院客座教授，华东师范大学兼职教授，中国数学奥林匹克高级教练。曾荣获省、市优秀教师、中青年专业技术拔尖人才、全国推进素质教育先进工作者、全国教育科研先进工作者等称号。现任杭高教育集团夏衍中学副校长，杭州高级中学培优中心主任，杭州市数学名师实践基地主持人，浙江数学教育研究会副秘书长，天津师大《数学教育学报》董事、编委。

平时以“严、实、爱”的教学态度赢得学生，擅长 “启发、点拨”的教学方法；重视课堂设计，分析、钻研、挖掘教材，精心构思，注重教与学的趣味性，积极开展师生双边活动，调动学生积极性，形成了“严谨、活泼、富于启迪性”的教学特色。在各级刊物发表《课堂教学回归“数学化”的讨论和分析》、《基于现代教学理念下课堂教学“留白”艺术的观察研究》等百余篇教学论文；主编或参与编著《高中数学课堂教学设计与实践》、《高中数学竞赛培训教材》、《初中数学竞赛培优教材》等百余部教学参考书。直接辅导学生参加全国数学竞赛获奖300余人，建模小论文比赛获奖100余人。培养和培训青年教师成绩喜人，多次主讲浙江教育电视台的“百师百题”、“高考错误一百讲”、“数学”等系列电视教学辅导片；多次应北京师大、华东师大、陕西师大、浙江大学、浙师大、杭师大、浙江外语学院等邀请，作“中学数学研究和教学”专题报告百余场。

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