2021年高考数学冲刺对点集训(2B)

第一章 集合与常规用逻辑用语

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、考纲考情：1.理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

二、核心素养养成：逻辑推理。

三、考查角度：主要以函数、数列、立体几何、解析几何、复数、向量等为载体考查逻辑推理能力.

B组——能力提分练

1．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：C

解析：由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)²＝(3a＋b)²，即a²＋9b²－6a·b＝9a²＋b²＋6a·b.

又a，b均为单位向量，所以a²＝b²＝1，所以a·b＝0，能推出a⊥b.由a⊥b得|a－3b|＝10^1/2，|3a＋b|＝10^1/2，

能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．

2．“log₂(2x－3)<1”是“4^x>8”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A

解析：由log₂(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒3/2<x<5/2，4^x>8⇒2x>3⇒x>3/2，所以“log₂(2x－3)<1”是“4^x>8”的充分不必要条件，故选A.

3．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]答案：B

解析：由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.

4．数列{a_n}的通项公式为a_n＝|n－c|(n∈N_＋)，则“c≤1”是“{a_n}为递增数列”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A

解析：因为a_n＝|n－c|(n∈N_＋)，所以对任意实数c，a_n＋1－a_n＝|n＋1－c|－|n－c|>0恒成立，所以“c≤1”是“{a_n}为递增数列”的充分而不必要条件，故选A.

5．已知条件p：log₂(1－x)<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

解析：条件p：log₂(1－x)<0，所以0<1－x<1，解得0<x<1.条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a≤0.则实数a的取值范围是(－∞，0]．答案：(－∞，0]

6．给出下列命题：

①已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；

②“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件；

③“函数f(x)＝cos²ax－sin²ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；

④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．

其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)答案：①②

解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x<0”不能推出“ln(x＋1)<0”，但“ln(x＋1)<0”可以推出“x<0”，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos²ax－sin²ax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则2π/(2|a|)＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos²ax－sin²ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b<0”，但由“a·b<0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b<0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.

7．已知条件p：2x²－3x＋1≤0，条件q：x²－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

解析：由2x²－3x＋1≤0，得1/2≤x≤1，∴命题p为{x|1/2≤x≤1}.由x²－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，∴命题q为{x|a≤x≤a＋1}．非p对应的集合A＝{x|x>1或x<1/2}，非q对应的集合B＝{x|x＞a＋1或x＜a}．∵非p是非q的必要不充分条件，

∴1≤a＋1且a<1/2或a＋1>1且a≤1/2，∴0≤a≤1/2，即实数a的取值范围是[0，1/2].

【号：ww888llbb】