2021年湖南省衡阳市中考数学试卷电子版

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（3分）8的相反数是（　　）

A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8

2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）

A．98.99×10⁶ B．9.899×10⁷

C．9899×10⁴ D．0.09899×10⁸

3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（3分）下列运算结果为a⁶的是（　　）

A．a²•a³ B．a¹²÷a² C．（a³）² D．（a³）²

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．＝±4 B．（﹣2）⁰＝1 C．+＝ D．＝3

6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）

A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85

7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）

A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米

9．（3分）下列命题是真命题的是（　　）

A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和

B．正六边形的每一个内角为120°

C．有一个角是60°的三角形是等边三角形

D．对角线相等的四边形是矩形

10．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

11．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式

B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖

C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是

D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人

12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．

14．（3分）计算：＝　　．

15．（3分）因式分解：3a²﹣9ab＝　 　．

16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为　 　．（结果保留π）

17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　 　棵．

18．（3分）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为　 　厘米．

三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）

19．（6分）计算：（x+2y）²+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．

20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．

21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．

（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是　 　度；

（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．

22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．

（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．

23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．

（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；

（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．

25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．

（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；

（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．

（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线y＝ax²+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．

①求c的取值范围；

②求∠EMN的度数；

（3）如图，抛物线y＝﹣x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x²+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（3分）8的相反数是（　　）

A．﹣8 B．8 C．﹣ D．±8

【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是﹣8．

故选：A．

2．（3分）2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（　　）

A．98.99×10⁶ B．9.899×10⁷

C．9899×10⁴ D．0.09899×10⁸

【解答】解：98990000＝9.899×10⁷，

故选：B．

3．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；

B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

4．（3分）下列运算结果为a⁶的是（　　）

A．a²•a³ B．a¹²÷a² C．（a³）² D．（a³）²

【解答】解：A．a²•a³＝a⁵,故此选项不合题意；

B．a¹²÷a²＝a¹⁰,故此选项不合题意；

C．（a³）²＝a⁶,故此选项符合题意；

D．（a³）²＝a⁶,故此选项不合题意；

故选：C．

5．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．＝±4 B．（﹣2）⁰＝1 C．+＝ D．＝3

【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；

根据公式a⁰＝1(a≠0)可得（﹣2）⁰＝1，故B符合题意；

、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；

，故D不符合题意；

故选：B．

6．（3分）为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）

A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85

【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，

A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；

B、数据的中位数为＝84，此选项正确，不符合题意；

C、数据的平均数为＝85，

所以方差为×[（85﹣85）²+（83﹣85）²+2×（82﹣85）²+（86﹣85）²+（92﹣85）²]＝12，此选项错误，符合题意；

D、由C选项知此选项正确；

故选：C．

7．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（　　）

A． B．

C． D．

【解答】解：这个组合体的三视图如下：

故选：A．

8．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　）

A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，

∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，

∴AB≈BC＝×6＝10（米），

故选：D．

9．（3分）下列命题是真命题的是（　　）

A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和

B．正六边形的每一个内角为120°

C．有一个角是60°的三角形是等边三角形

D．对角线相等的四边形是矩形

【解答】解：A．每个多边形的外角和都是360°，故错误，假命题；

B．正六边形的内角和是720°，每个内角是120°，故正确，真命题；

C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；

D．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．

故选：B．

10．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,

解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，

∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：

故选：A．

11．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式

B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖

C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是

D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人

【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，

∴A选项错误，

彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，

∴B选项错误，

根据概率的计算公式，C选项中摸出红球的概率为，

∴C选项错误，

200名学生中有85名学生喜欢跳绳，

∴跳绳的占比为，

∴3200×42.5＝1360(人)，

∴D选项正确，

故选：D．

12．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

【解答】解：∵PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

∵∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN，

∵NC＝NP，

∴PM＝CN，

∵MP∥CN，

∴四边形CNPM是平行四边形，

∵CN＝NP，

∴四边形CNPM是菱形，

故①正确；

如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，

即4²+x²＝(8﹣x)²，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，

∵AB＝4，BC＝8，

∴AC＝＝4，

∴CQ＝AC＝2，

∴QN＝＝，

∴MN＝2QN＝2，

故②不正确；

由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，

此时S＝S_菱形CMPN＝×4×4＝4，

当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，

此时S＝×5×4＝5，

∴4≤S≤5正确，

故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

13．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≥3　．

【解答】解：根据题意，得

x﹣3≥0，

解得，x≥3；

故答案为：x≥3．

14．（3分）计算：＝　1　．

【解答】解：原式＝＝1．

故答案为：1．

15．（3分）因式分解：3a²﹣9ab＝　3a（a﹣3b）　．

【解答】解：3a²﹣9ab

＝3a（a﹣3b），

故答案为：3a（a﹣3b）．

16．（3分）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为　12π　．（结果保留π）

【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．

故答案为：12π．

17．（3分）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树　500　棵．

【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，

依题意得：﹣＝3，

解得：x＝400，

经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，

∴（1+25%）x＝500．

故答案为：500．

18．（3分）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为　(2+3)　厘米．

【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，

当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，

∴AC＝2cm，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，

当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，

∴OD＝OB＝BD＝1cm，

在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)，

∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，

如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，

此时，OE＝OF＝＝，

AE＝AF＝＝＝,

∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：

（cm）

故答案为：(2+3)．

三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）

19．（6分）计算：（x+2y）²+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．

【解答】解：原式＝(x²+4xy+4y²)+(x²﹣4y²)+(x²﹣4xy)

＝x²+4xy+4y²+x²﹣4y²+x²﹣4xy

＝3x²．

20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．

【解答】证明：∵AC∥DF，

∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等),

又∵BC∥EF，

∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等),

在△ABC和△DEF中，

,

∴△ABC≌△DEF(ASA)．

21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．

（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是　64.8　度；

（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？

（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．

【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1﹣20%﹣7%﹣55%＝18%，

∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360°×18%＝64.8°，

故答案为：64.8；

（2）500×20%＝100（吨），

100×0.2＝20（万元），

答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；

（3）由题意可列树状图：

∴P_{（一男一女）}＝＝．

22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．

（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．

【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：

∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

∴∠AFH＝90°，

∵Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴∠DAF＝∠BAE,

又∵∠DAF+∠FAB＝90°，

∴∠BAE+∠FAB＝90°，

∴∠FAE＝90°，

在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，

∴四边形AFHE是矩形，

又∵AE＝AF，

∴矩形AFHE是正方形；

（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,

在Rt△AEB中，AB²＝AE²+BE²，

即13²＝x²+(x+7)²,

解得：x＝5,

∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,

∴DF＝BE＝12,

又∵DH＝DF+FH，

∴DH＝12+5＝17．

23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．

（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；

（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；

（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

由题知，

解得，

∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；

（2）根据题意知，

解得，

∴双层部分的长度为22cm；

（3）由题知，当x＝0时，y＝152，

当y＝0时，x＝76，

∴76≤L≤152．

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．

【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示：

∵AB是直径，

∴∠BDA＝90°，

∴∠BDO+∠ADO＝90°，

又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，

∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO＝90°，

∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连结OE，如图所示：

∵∠BDE＝30°，

∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，

又∵E为的中点，

∴∠EOD＝60°,

∴△EOD为等边三角形，

∴ED＝EO＝OD＝2,

又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，

∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,

在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2，

∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝,

∴CD＝2．

25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．

（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；

（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．

【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，

由题意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t，

∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），

∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，

∵MN∥OB，

∴∠OQM＝∠OFA，∠OMQ＝∠AOF，

∴△OQM∽△AFO，

∴，

∴，

∴QM＝，

∴点M的坐标是（）．

（2）∵MN∥OB，

∴四边形QEFO是矩形，

∴QE＝OF，

∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，

∵OA＝AB，

∴ME＝NE，

∴MN＝2ME＝6﹣3t，

∴S_{四边形MNBP}＝S_△MNP+S_△BNP

＝MN•OQ+•BP•OQ

＝

＝﹣6t²+12t

＝﹣6(t﹣1)²+6，

∵点P到达点B时，P、Q同时停止，

∴0≤t≤2，

∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6．

（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，

∴MN＝BP，

∵MN∥BP，

∴四边形MNBP是平行四边形，

∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，

设中点为H（x，y），

∵M()，B（6，0），

∴x＝＝，

y＝．

∴x＝，

化简得：y＝，

∴直线l的解析式为：y＝．

（4）∵OA＝AB，

∴∠AOB＝∠PBN，

又∵∠OAP＝∠BPN，

∴△AOP∽△PBN，

∴，

∴，

解得：t＝．

∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣，

∴MN＝6﹣3×，

AE＝，

ME＝，

∴AM＝．

设点N到OA得距离为h，

∵S_△AMN＝•MN•AE＝•AM•h，

∴，

解得：h＝．

∴点N到OA得距离为．

26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．

（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；

（2）若抛物线y＝ax²+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．

①求c的取值范围；

②求∠EMN的度数；

（3）如图，抛物线y＝﹣x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x²+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，

当x＝±2时，y＝＝±2，

故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；

（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，

故“雁点”的函数表达式为y＝x，

∵物线y＝ax²+5x+c上有且只有一个“雁点”E，

则ax²+5x+c＝x，

则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，

∵a＞1，

故c＜4；

②∵ac＝4，则ax²+5x+c＝0为ax²+5x+＝0，

解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0），

由ax²+5x+c＝x，ac＝4，

解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），

故点E作EH⊥x轴于点H，

则HE＝，MH＝x_E﹣x_M＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，

故∠EMN的度数为45°；

（3）存在，理由：

由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），

过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，

设点P的坐标为（m，﹣m²+2m+3），

则BN＝﹣m²+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m²+2m+3﹣t,

∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,

∴∠NPB＝∠CPM,

∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,

∴△CMP≌△PNB（AAS），

∴PM＝BN，CM＝PN，

即m﹣t＝|﹣m²+2m+3|，﹣m²+2m+3﹣t＝|3﹣m|，

解得m＝1+（舍去）或1﹣或，

故点P的坐标为（，）或（，）．

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