【解题研究】(2021广西贵港26)旋转变换手拉手全等与相似

发布于 2021-08-04 19:28 ，所属分类：中考数学学习资料大全

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2021广西贵港26题

已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．

试题分析

本题立意新颖，既注重基础知识，同时又具有一定的综合性．解题时，用到模型思想，注意识模、用模．
（1）全等型手拉手，AE与CF是拉手线，证明△AOE≌△COF（SAS），可得结论．
（2）证明方法类似（1），全等型手拉手，AE与CF是拉手线．
（3）相似型手拉手，首先证明∠AED＝90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE即可．
备注：
1．直角+中点→直角三角形斜边中线等于斜边一半（如图1、图2，OA＝OC＝OB）；
变式1：若∠BAC＝90°，OC＝OA，可推出OA＝OB，即点O是AB的中点；
变式2：若OA＝OC＝OB，可推出∠BAC＝90°．
2．手拉手模型
解题时，分辨符合条件的两个母三角形，然后确定由拉手线与头构成的子三角形，证明全等或相似．
（1）顶角相等的两个等腰三角形共顶点手拉手→产生的三角形全等；
（2）两个相似的非等腰三角形的一对应角的顶点手拉手→产生的三角形相似

题目解析

解：（1）结论：AE＝CF．
理由：
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（2）结论成立．
理由：∵∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．

（3）由旋转的性质可知OE＝OA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OA＝OD＝5，
∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴


解后反思


1．“基本图形” 提升“思维品质”，一个平面几何图形，常可分解成若干个基本图形．因此，基本图形是构成复杂图形的细胞．证明平面几何问题时，若从基本图形入手，先将题中图形分解(构造)成几个基本的几何图形，然后充分利用这些基本图形的性质去证，常可思路广阔，容易证明．平时注意从习题中提炼常用的基本模型，并通过识模、用模，从而强化对基本图形的理解．
2．纵观各地的中考试题，常常出现一类提炼所得的基本模型相关的题目．


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