高中数学------考点13 函数的奇偶性

发布于 2021-08-12 21:38 ，所属分类：高考数学学习资料大全

【基础回顾】

一、课本基础提炼
1. 函数的奇偶性

二、二级结论必备　
1. 与函数奇偶性有关的性质
　（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
　（2）在公共定义内，两个奇函数的和是奇函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
　（3）若奇函数的定义域包括0，则f(0)=0．
　（4）若函数f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|)．
　（5）定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
　（6）若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)+f(-x)为偶函数，f(x)-f(-x)为奇函数，f(x)•f(-x)为偶函数．

2. 一些重要函数的奇偶性
　（1）函数f(x)=a^x+a^-x为偶函数，函数f(x)=a^x-a^-x为奇函数．`
　（2）函数

（a＞0且a≠1）为奇函数．
　（3）函数

（a＞0且a≠1）为奇函数．
　（4）函数

（a＞0且a≠1）为奇函数．

【技能方法】

1. 函数奇偶性的判定
判别函数奇偶性的方法：（1）求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；（2）若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数表达式进行适当的化简，以便于判断；（3）利用定义域进行等价变形判断；（4）分段函数应分段讨论，要注意根据的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．
　　例1 【2015广东高考】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）
　A．y=x²+sinx　　　B．y=x²-cosx
　C．

　　D．y=x+sin2x
【答案】A
【解析】
　　函数f(x)=x²+sinx的定义域为R，关于原点对称，因为f(1)=1+sin1，f(-1)=1-sin1，所以函数f(x)=x²+sinx既不是奇函数，也不是偶函数；函数f(x)=x²+cosx的定义域为R，关于原点对称，因为f(-x)=(-x)²-cos(-x)=x²-cosx=f(x)，所以函数f(x)=x²+cosx是偶函数；函数

的定义域为R，关于原点对称，因为

，所以函数

是偶函数；函数f(x)=x+sin2x的定义域为R，关于原点对称，因为f(-x)=-x+sin(-2x)=-x-sin(-2x)=-xsin2x=-f(x)，所以函数f(x)-x+sin2x是奇函数．故选A．
【点评】
　　函数奇偶性的判定，一般是先判断函数的定义域是否关于原点对称，再由f(-x)与f(x)的关系作出判断．

2. 函数奇偶性的应用
　　函数奇偶性的应用，常见题型的有求函数值、求函数的解析式、求参数的值、求不等式的解等等．解决函数奇偶性的应用问题，一定要熟练掌握函数奇偶性的含义与性质．
　　例2 【2015北京期中】已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)=e^x，则f(-1)=（　　）
　A．

　　B．

　　C．2　　D．-e
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-e，故选D．
【点评】利用函数奇偶性求函数值，一般是将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
　　例3 【2015福建质检】定义在R上的奇函数f(x)，当x＜0时，f(x)=xe^-x，则当x＞0时，f(x)______．
【答案】xe^x
【解析】
　　当x＞0时，-x＜0，所以f(-x)=-xe^x，因为定义在R上的奇函数f(x)，所以f(-x)=-f(x)，所以-f(x)=-xe^x，即f(x)=xe^x．
【点评】
　　利用函数奇偶性求函数的解析式，一般是先“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内，再利用已知区间的解析式进行代入，最后利用函数的奇偶性解出f(x)．

例4 【2015课标I高考】若函数

为偶函数，则a=_____．
【答案】1
【解析】
　　由题意知：

是奇函数，因为g(x)+g(-x)=0，所以

，解得a=1．
【点评】
　　利用函数奇偶性求参数的值，要根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而得出参数的值．
　　例5 【2015甘肃联考】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间 [0，+∞)上单调递增，若实数A满足

，则A的取值范围是（　　）
　A．[1,2]　　B．(0,1/2]　　C．[1/2,2]　　D．(0,2]
【答案】C
【解析】
　　因为

，所以

等价于f(|㏒₂a|)≤f(1)，因为函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|㏒₂a|≤1，解得

，所以的取值范围是

，故选C．
【点评】
　　利用函数奇偶性求不等式的解，要根据函数的奇偶性把不等式转化为f[g(x)]＞f[h(x)]的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式（组），此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内．

【基础达标】

1.【2015福建高考】下列函数为奇函数的是（　　）
　A．

　　B．y=|sinx|　　C．y=cosx　　D．y=e^x-e^-x
【答案】D
【解析】
　　函数

的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，所以函数

，则f(-1)=_____．
【答案】-2
【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-(1²+1)=-2．

3. 函数f(x)在R上为奇函数，且当x＞0时，

，则x＜0时，f(x)_____．
【答案】

【解析】
　　当x＜0时，-x＞0，所以

，因为函数 f(x)在R上为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以

，即

．

4. 已知y=f(x)是奇函数，当x＜0时，f(x)=x²+ax，且f(3)=6，则a的值是（）
　A．5　　B．1　　C．-1　　D．-3
【答案】A
【解析】
　　因为y=f(x)是奇函数，且f(3)=6，所以f(-3)=-f(3)=-6，即9-3a=-6，解得a=5，所以a的值是5，故选A．

5. 【2015吉林监测】已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则不等式f(x-2)≥0的解集是______．
【答案】(-∞,1]∪[3,+∞)
【解析】因为f(1)=0，所以f(x-2)≥0等价于f(|x-2|)≥f(1)，因为函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，所以|x-2|≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式f(x-2)≥0的解集是(-∞,1]∪[3,+∞).

【能力提升】

1. 若函数f(x)(x∈R)是奇函数，则（　　）
　A．函数f(x²)是奇函数　　　B．函数[f(x)]²是奇函数
　C．函数f(x)•x²是奇函数　　D．函数f(x)+x²是奇函数
【答案】C
【解析】
　　因为f((-x)²)=f(x²)，所以函数f(x²)是偶函数；
　　因为[f(-x)]²=[-f(x)]²=[f(x)]²，所以函数[f(x)]²是偶函数；
　　因为f(-x)•(-x)²=-f(x)•x²，所以函数f(x)•x²是奇函数，
　　因为f(-x)+(-x)²=-f(x)+x²，所以函数f(x)+x²是非奇非偶函数．故选C．

2. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2^x+2x+m（m为常数），则f(-1)=（　　）
　A．3　　B．1　　C．-1 　　D．-3
【答案】D
【解析】由题意得：f(0)=1+m=0，解得m=-1，所以当x≥0时，f(x)=2^x+2x-1，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-(2+2-1)=-3，故选D．

3. 【2015北京期中】函数

为奇函数，则实数a=______．
【答案】-1
【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即

4. 若f(x)是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是减函数，则

　A．

　　
　B．

　C．

　　
　D．

【答案】C
【解析】
　　因为f(x)是偶函数，所以

，因为f(x)在[0,+∞)上是减函数，且

故选C.

【终极突破】

1. 【2015吉林摸底】对任意实数a、b，定义两种运算：

，

则函数是

（　　）　
　A．奇函数　　　　　　　　　B．偶函数
　C．既是奇函数又是偶函数　　D．非奇非偶函数
【答案】A
【解析】由题意得：

解得

，所以函数f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2]，所以

，因为

，
所以函数

是奇函数，故选A.

2. 【2015汕头月考】已知f(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数与偶函数，若f(x)+g(x)=㏒₂(x²+x+2)，则f(1)=（　　）
　A.-1/2　　B.1/2　　C.1　　D.2
【答案】B
【解析】令x=1得：f(1)+g(1)=㏒₂4=2，令x=-1得：f(-1)+g(-1)=㏒₂2=1，因为f(x)与g(x)分别是定义在上的奇函数与偶函数，所以f(-1)+g(-1)=-f(1)+g(1)=1，联立