【新高考数学】函数也可以这么简单!

解答题

1．已知函数，

（1）当时，求函数的最大值和最小值；

（2）若实数a使得对，恒成立，求a的取值范围．

【答案】

（1）最大值为，最小值为；

（2）

【分析】

（1）采用换元法可将函数化为，；由二次函数图象和性质可求得最大值和最小值；

（2）若不等式恒成立则需，从而得到结果．

【详解】

（1）令 ，

当时，；当时，

即最大值为，最小值为；

（2）由恒成立得：

由（1）知， 的取值范围为．

【点睛】

思路点睛：本题考查与指数函数有关的二次函数型的最值的求解、恒成立问题的求解；解决此类问题常采用换元法的方式，将函数转化为二次函数，从而利用二次函数图象与性质来进行求解；易错点是忽略换元后，新变量的取值范围，造成求解错误．

2．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：P＝(t∈N*)设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

【答案】销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．

【分析】

先化简函数解析式，再求出各段的最大值，比较得出函数的最大值．

【详解】

设日销售金额为元，则

，

即，

当时，，时有最大值900；

当时，是减函数，时有最大值1125.

综上所述，时有最大值1125，

所以，第25天日销售金额最大，最大值为1125元.