经开区改进学校教学管理专题系列③题纲挈领:中考数学压轴题解题教学研究

“题”纲挈领

中考数学压轴题解题教学研究

经开区初中数学核心团队

美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）认为“问题是数学的心脏”，这句话道出了数学学科的本质。数学离不开解题，解题教学是现代数学教学的核心，学生数学知识的形成及其思想方法的获得和深化都是以“解题活动”为载体，学生解题能力的高低就意味着老师教学能力的高低。随着课改的进一步深入，数学教学由只强调对教材上的定理、概念、例题等基础知识的传授和反复应用，转而重视教学方法与数学思维能力的训练与核心素养的形成。但在具体的实践中缺少科学性指导，甚至有人认为数学教学最简单的方法是把大量的复习资料抛给学生，搞“题海战术”，让学生在解题中自我领悟，教师只需要评判结果，对对答案。其实这是一种收获甚微的低水平教学，是应该摒弃的。经验表明：对数学教学中的知识、方法与思维进行综合研究，并从整体上重新布局数学的教学过程，对提高数学教学质量是十分重要的。

初中毕业学业水平考试（俗称“中考”）试卷，以数学课程为标准、体现了初中基础学业水平考试的同时，也适度体现了选拔功能。所以中考除了对“双基”进行合理考查的同时，也加大了对数学思想方法、逻辑能力、演绎能力、应用能力的考查，由此出现了一份试卷的“点睛之笔”——压轴题。每年都会有很多研究中考数学压轴题的文章发表。这些文章以中考数学压轴题为契机，来分析中考数学命题的走向、研究中考改革、探讨数学教学。由此可见，压轴题在初中数学中具有重要地位。

一份试卷中的压轴题基本都是原创题，每年都能推陈出新，亮点不断，解法灵活多样。正因如此，关于压轴题的解题教学一直是难点。归纳当下的中考专题复习课中仍存在以下五大问题：

（1）教师自身对压轴题的解题能力不强，甚至存在畏难情绪，平时不愿意花时间和精力去钻研。这样的教师在进行压轴题教学时，只会简单地照着答案念或是抄，面对学生提出的不同解法，无法理解或是应变不够。

（2）在一些生源一般的学校或班级，教师往往觉得压轴题的难度过大而示意学生不如放弃压轴题或是在平时的作业中遇到难度稍高的压轴题即让学生忽略。这样的现象存在还比较普遍。

（3）教师讲解压轴题方式肤浅单调，只停留在就题论题的层面，没有更多从方法或策略层面加以提炼，缺少深入研究，如变式、拓展、多解、提炼等，这样的习题课往往使学生提不起解题欲望，这样的课无法激发学生解压轴题的兴趣。

（4）课堂追求“多快好省”，讲解题目量多，教学进度快，解题思维形成过程省略，学生思考和探究时间少，课堂参与度不高。因为对学生而言，听完老师讲解，并不代表已经完全听明白了，何况听懂了不一定会做了，会做了不一定做得对，做得对不一定能迁移，所以这样的课看似高效实则很低效。

（5）教学没有基于学生的基础，压轴题讲解只针对不到一半的尖子生，让成绩中等及中下的学生成为“陪读”，这样的课违背教育的理念。

上述现象正是中考复习课复习效率低下的原因。因为压轴题如此难解又难讲，这就为本课题研究提供了可能。

笔者通过前期的抽样访谈与问卷调查，了解到区内教师对于压轴题的解题、压轴题的讲题和命题感觉困难很大，如老师们反馈“现在的考试试题越来越多、繁、杂，我都不知道怎么优选”；“现在书本上不讲的，或者课程标准中不要求的题，是否真不需要让学生做”；“这道题我应该从哪个角度去讲解，才能在课堂上起到更好的效果”；“这道题的变式和拓展内涵丰富，应该怎样改编”；“如何帮助学生分析清楚这道题”……这些问题说明本区教师群体在压轴题解题、研题能力提升上还有很大空间，对于教学评价的意义和原则、命题知识与技能亟需进一步提高。

美国数学家和数学教育家G·波利亚（George Polya，1887—1985）在《怎样解题》中列出的解题表分为“弄清问题、制定计划、执行计划、回顾反思”四个步骤。此书被公认为数学解题经典著作，但运用其解题表进行思路分析的教学却不多，可见其实用性不强。

单壿教授的《解题研究》分别从学生、教师角度，讲述了解答数学竞赛问题所需的知识、方法、准备工作、心理因素、思维储备等，高屋建瓴地揭示了解答数学竞赛问题根本的规律。可见本书适合从事数学竞赛教学的老师和参加数学竞赛活动的学生阅读。

罗增儒教授在《中学数学解题的理论与实践》围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”这两个基本问题进行数学解题的理论分析与实践探索。为本研究提供了思路。

另外戴再平、周春荔、孙维刚、任勇等著名的数学教育专家都写出了中国特色的数学解题专著，但基本都是针对解题。对于怎样教解题，怎样教综合性强、能力要求高的压轴题解题，对应的著作仍旧不多。

各级各类数学教育类期刊杂志虽然期期都有刊登针对中考压轴题的解法分析，但解题经验或是解题教学的方法或策略仍旧是零碎的，缺乏体系的。

中考数学压轴题：历年中考数学试题基本都遵照着由简到难的原则，题目类型出现顺序通常依次为选择题、填空题、解答题，三种题型中的最后一道或者最后两道题往往会设置一些难度相对较大，思维要求比较高的题目，此类问题我们称其为“压轴题”。本研究中讨论的压轴题包括中考数学试卷、中考模拟试卷中的选择题、填空题和解答题中的压轴题。

解题教学：就是教师通过组织学生对于相关数学习题进行练习与解答的方式，有效实现相关解题方法和经验的讲授，从而帮助学生实现数学能力的有效培养。

中考数学压轴题的解题教学：就是教师带领学生亲自参与数学压轴题解题活动，去探究问题解决的基本规律，教师把自身积累的解题经验和解题规律传授给学生。作用是优化学生压轴题的解题技能、强化学生对于相关概念的理解、激发学生对于数学的学习兴趣、实现学生数学知识的合理优化。

1.通过压轴题解题策略研究，将中考压轴题的解题经验显性化、算法化。归纳出常用的基本图形或结论，以及审题、思路分析、解答规范、回顾反思的方法或技巧。

2.通过压轴题解题教学案例研究，提炼初中数学压轴题解题教学课堂新范式。以“一题一课”为基本特征，形成具有区域特色的解题教学课。

3.通过压轴题说题与命题的评比展示活动，以赛促研，提升区域内教师团体或个人对于中考压轴题解题能力，进而提高全区初中数学整体教学水平。

1.钩玄提要：将压轴题解题经验显性化、算法化的研究

教师在压轴题解题教学中若没有自己的解题经验，说明数学功底不够扎实，自身还没形成对数学特点的认知结构，这样的教师往往无法归纳类型或是提炼出解题的，更无从教学生去掌握压轴题的解法，这是造成“题海战术”的根本原因。所以提高区域内教师自身的压轴题解题能力是本项目研究的基础。拟通过以下步骤实施研究：

（1）分类归纳——将解题经验显性化

每一年都会涌现大量的中考数学压轴题，所以对于中考数学压轴题的解题经验也需要不断发展和丰富，对数学解题经验显性化就有了必要性：常用的思想方法有哪些？常用的几何基本图形是哪些？代数解题模块有哪些？与此相关的常见的二级结论又有哪些？解题的良好思维习惯又有哪些？每一位数学教师都有必要对自身的压轴题解题经验进行丰富和完善。需要归纳提炼的解题经验包括解题思想方法提炼、常用模型/模块归纳与提炼、学习习惯养成等内容（见图1）。

解题过程中渗透的数学思想方法类型，是数学的核心，没有归纳提炼就如“入宝山却空手而返”，思想方法是数学问题的灵魂，教师就对初中数学常用的方法了然于胸。常用的解题模块，如代数中a2+b2,ab,a+b，a-b属于知二得二解题模块，几何中将军饮马模型、手拉手模型等等。随着信息技术广泛应用，gongzhong号、视频号中对于数学模型的提炼和应用的内容相当丰富，但难免鱼龙混杂、良莠不齐，需要老师们进行甄别、整理和归类。而在解题经验中良好思维习惯、规范答题习惯的培养和积累也是教师专业素养中不容忽视的要素。

（2）联想系统——将解题经验算法化

上述的解题模块有一定的局限性，因为解题模块的解法是单一的，而压轴题自身的综合性决定了解题方法的多样性，运用模型将解题联想系统用思维导图的形式呈现出来，是实现一题多解，通法归纳和变式拓展的有效途径。具体思路分析有两种形式，分别是由因导果和由果索因，也就是通常所说的“综合法”和“分析法”两种形式.

由因导果，也即通常所说的“综合法”（见图2），通过对已知条件1，2，3，n的联想，得到一些结论。如已知条件是平行四边形可联想到平行四边形的两组对边分别平行且相等；对角相等；对角线互相平分；具中心对称性等性质，再找到这些结论与问题中的结论之间的关联，进行演绎推理。

由果索因，属“分析法”，即要得到这个结论，可通过途径1，2，3，n，如要判断两直线平行，我们可以由同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、三角形的中位线、平行四边形、平行线的传递性、垂同一直线、圆中所夹弧相等、“角平分线+等腰三角形”模型等途径得到。

解决一道压轴题，往往是由“综合法”和“分析法”共同作用的结果，本研究称之为“综合分析”法（见图4）。

通过对命题中的各个条件已经进行充分的联想，形成结论1.1,1.2,…，n.2，n.3…，找到与所求结论之间的关联；同时也要对所求结论进行逆向思维：证明这个结论的途径有1,2,3…n条，这些途径与已知条件得到的结论进行关联，从而形成多种解题思路，这就为方法的灵活性、多样性提供了可能，有利于提高解题者的思维素质。

上述两个方面的研究是解题教学研究的基础。将解题经验的显性化、算法化突出教师的归纳能力，只有把数学知识技能归纳清楚了，才能把题解出来，讲清楚。教师建立自身的解题联想系统，更是培养数学思维的灵活性、发散性的重要途径。本研究中要求区域教师都应积极参与这项活动。

2.一题一课：对中考压轴题解题教学设计与实践的研究

“一题一课”是指通过对一道中考压轴题的挖掘，以“一题多解”“多解归一”“一题多变”“一题多说”环节为主线，对中考试题进行全方位、多角度的解剖，探“源”觅“流”实施的课堂教学（2012，吴立建）。

（1）“一题一课”教学设计研究

通过教学设计，学生在教师的引导下，通过积极的思考、交流、表达获得学习体验，促进数学核心素养的提升；让教师在与学生的合作中，通过有效的预设、生成、反思获得的教学经验，促进数学教学素养的提升。拟按以下五个环节设计课例（见图5）。

精选例题。中考复习时间有限，好题的选择是关键。分别从数与式、函数、方程与不等式、平行线、三角形、四边形、圆、相似与全等等角度选择具有典型性、代表性、拓展性的压轴题，既可以从一题入手，又可多从多题联动分析，通过开放性问题的设计。

一题多解。通过“综合分析”法，鼓励学生对精选例题进行一题多解，教师再进行补充完善。先按通法优先原则思考，再按优法优先原则解答。通过一题多解，一题多思，有数有形，思想荟萃。一题多解可拓宽学生的视野、整合所学的知识、培养细致的观察力、丰富联想和创新能力。

多解归一。一题多解在变化中熟练知识，活用方法，强化能力，给人以变的一面，在变化中寻求不变，又是大道至简。透表象抓本质，注重通性通法的回归，做到收放自如的目的。

变式拓展。多解归一之后，还要进一步类题通解。例题讲解后对原题的条件、结论、问题情境、思维角度、方式进行变化，得到新的题。保持本质特征不变，使非本质属性发生变化。通过变式拓展，教师为学生的思维提供了一个个阶梯，重复但不呆板，有得学生构建完整、合理的新知识或新技能。

反思品味。一道题讲解完后应该及时进行反思：解此题的关键在哪里？是如何进行突破的？有哪些经验和教训？用到了哪些基本知识和技能？解法背后又有哪些数学思想方法？品味环节往往被认为是可有可无，其实从数学问题的来源、解法的多样性、巧妙性、拓展变化的对称性等，都值得将数学“冰冷的美丽”展示出来。压轴题也是凝聚了命题者大量心血的而成的结果。让学生自发领悟、自觉分析；为学生提供“悟”的渠道，赏析压轴题，醍醐灌顶，茅塞顿开。

（2）中考数学压轴题“一题一课”教学实践研究

通过师训活动，将“一题一课”的教学设计在课堂中实施，设计合理的评价要点，通过听课者有目的的课堂观察，对中考压轴题教学的课例设计进行完善。在实践中，拟抓住以下六大要点进行评价（见图6）。

学为中心的地位不能动摇。如果不研究学情，不学生的学习习惯养成、学习方法生成、学习行为产生，课堂教学实效性就会被大大地降低；同时，也不可忽视教师的主导作用，一堂准备充分的课，有预设的课师生均会沉浸其中，学得不亦乐乎；同样低起点、高立意，基础性原则也是不可忽略的要素，要让各层学生在压轴题解题教学中均有收获，但又能小中见大地通过一个例题串起诸多相关的知识点，起到复习和拓展的效果；同时要将数学软件（如GGB,几何画板，网络画板）融入解题教学过程中，提升学生的理解力；学与教的结合。既不能偏失学为中心的理念也不能忽略教的主导地位。教的目的不仅在于方法和技巧，还要注重培养学生解决压轴题的自信心的提升；质性与量化的结合，多样化的试题分析途径探究，错题阅卷平台（如易多分等）均有极大丰富的错题资源，均是选题依据。

3.以终为始：专项主题活动促进区域教研水平整体提升的研究

计划每一学年分别在两个学期组织区域内教师关于中考压轴题解题的说题评比与培训、命题展示与培训活动。

（1）基于专题活动的命题设计

说题参赛者的选题范围来自浙江省近三年初中数学中考压轴题，题型不限。说题内容需包括（但不局限于）以下环节:（1）试题背景与亮点；（2）解法；（3）常见错误及原因分析；（4）相应的教学策略；（5）变式与拓展。参赛形式上鼓励有所创新，如2-3人组团说题等。每位教师说题时间为15-20分钟，不能超过20分钟。

命题评比与展示，是教师数学素养的综合体现，是研究学情，钻研如何将教材知识、课标的要求运用于解决现实问题的教学过程，更是对教材、新课程标准、中考命题要求的理解过程。一个结构优良的数学命题，须经过“解题”、“研题”、“讲题”、“编题”等关键环节，它们分别对应着解题经验显性化、算法化；研题、研课标的基本要求；同时也考查教师的思考、表达、元认知力以及命题的基本要求和规范。它们之间的关系见图7：

（2）基于专题活动的流程设计

本研究拟将教师命题展示与培训活动分为两阶段。第一阶段由区全体初中数学教师在UMU平台对区内教师们所命制的压轴题进行点评，根据评价选取优秀命题，邀请优秀命题者根据“经开区初中数学教师命题试题卡”自制PPT说题，录制8-12分钟的微课。命题活动策划分为以下五个步骤（见图8）：

期望通过命题展示与培训活动，区域内教师命题研题能够自觉成长，激发内力；外聘专家讲座，借外力引领正确方向。

4.四步迭代：混融式培训模式建构的研究

本研究借鉴PBL基本流程与关键要素设计，以“问题导研-评比促研-专题共研-反馈助研”四环迭代模式（见图9）。

（1）四板块循环运转关系说明

每一次培训活动均可依此模式进行优化迭代。如说题评比活动，先在UMU平台设计好导研稿，定期开放，引导评比活动要点，在评比过程中，分享选手说课课件，评委及观摩教师通过UMU平台上共享的资料进行在线点评，说题比赛结束后，专家教师进行专题讲座，受训教师再一次总结归纳自己的收获，活动组织者从教师的反馈中对本次活动进行反思总结。

（2）四板块循环运转价值指向

通过四板块的循环运转，构建活动框架开展研训活动，使之始终抓住数学学科的核心概念，将研修行为系列化、自主化、持续化。指向教师的专业发展，从而引领学生的解题能力提升。

压轴题解题教学的研究过程，是钻研教材、理解教材、研究学情、中考命题要求的理解、钻研的过程。融入PBL框架的师训能有效提升数学教师自身命题能力和教师专业发展，促进教师教学能力的提高，促进教师对课标、教材的钻研和理解。