学会方法,吃透例题,掌握高考重点内容不等式

近年来，以高等数学知识为背景的不等式综合题，在高考中频繁出现，常常充当压轴题的角色，经研究不难发现，在与高等数学交汇的前提下，此类问题量现出以下特点：

（1）在知识层面上：或以函数知识为载体，研究相关函数的离散性质；或以数列知识为依托，研究无穷级数的敛散性；

（2）在方法层面上：证明题重点考查迭代法，放缩法，数学归纳法等重要证明方法和技巧；

（3）在新教材层面上：导数等新增内容进入高考。

为利用导数工具研究函数问题提供了可能，从而为此类问题注入了活力，今天我们对此类高等数学背景下的不等式问题进行分类剖析，希望对高考复习有所帮助。

不等关系作为重要的数学模型，它除了是学习、解决和研究数学中各种问题的有力工具，更能我们解决生活和工作当中遇到的问题。因此，作为选拔人才的高考更是少不了不等式的存在，主要针对高中数学不等式高考试题分析与教学策略展开讨论与分析。

不等式有关的高考试题分析，典型例题1：

若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x²+y²+z²的最小值．

解：根据题意，实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，

则有（4x+3y+12z）²≤（x²+y²+z²）（4²+3²+12²），

即1≤169（x²+y²+z²），

即有x²+y²+z²≥1/169；

即x²+y²+z²的最小值为1/169；

故答案为：1/169．

考点分析：

二维形式的柯西不等式．

题干分析：

利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（4x+3y+12z）²≤（x²+y²+z²）（4²+3²+12²），变形即可得答案．

不等式有关的高考试题分析，典型例题2：

已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．

（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（b，7/2），求a+b的值．

考点分析：

绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

题干分析：

（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（b，7/2），代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．

不等式有关的高考试题分析，典型例题3：

已知函数f（x）=√（|2x﹣1|+|x+1|﹣a）的定义域为R．

（Ⅰ）求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证：1/m+4/n≥3．

考点分析：

基本不等式；绝对值三角不等式．

题干分析：

（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，求出表达式的最小值，即可得到a的范围，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m+n=3，则（1/m+4/n）=（1/m+4/n）（m+n）/3=（1+4+n/m+4m/n）/3，根据基本不等式即可证明．