高中数学------考点38 利用微积分求解定积分【理】

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【基础回顾】

一、课本基础提炼
1．定积分的概念.


二、二级结论必备
1.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．

2.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．

【技能方法】

1.定积分的计算
利用微积分基本定理计算一些简单定积分的步骤：
　①把被积函数变形为常数与幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等函数之积的和或差；
　②把定积分用定积分的性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
　③分别用求导公式(逆向思维)找到一个相应的原函数；
　④利用牛顿­莱布尼茨公式求出各个定积分的值；
　⑤计算原始定积分的值．
　　例1.计算下列定积分：
　
【点评】与绝对值有关的函数均可化为分段函数．
　①分段函数在区间 上的积分可分成几段积分的和的形式．
　②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．

2.定积分在物理中的应用
　（1）求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v=v(t)，那么从时刻t=a到t=b所经过的路程是：

　（2）变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时，力F(x)所做的功是：

　　例2.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度(t的单位：s,v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)
　A．1＋25ln5　　B．
　C．4＋25ln5　　D．4＋50ln2
【解析】
　　由，可得t=4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为

　【点评】用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．

【基础达标】


　A．2　　B．1　　C．2/3　　D．4/3
【答案】D


　A．　　B.　　C．-1　　D．-2
【答案】B

解得


　A．π　　B.2　　C．π-2　　D．π+2
【答案】D

　A.　　B.　　C.　　D.π
【答案】C

∴sin2t=-sint∴2cost=-1



　A．e²-21n 2　　 B．e²-e-21n 2
　C.e²+e+21n 2　　D．e²-e+21n 2
【答案】B


【能力提升】


　A．a＞b　　B．a+b＜1　　C．a＜b　　D．a+b=1
【答案】A


所以a＞b.


　A．0　　B．2　　C．　　D．
【答案】A




　A．e⁴-e^-2　　 B．e⁴+e²
　C．e⁴+e²-2　　D．e⁴+e^-2-2
【答案】C
【解析】根据定积分的可加性，可得


　A．3/4　　B．4/5　　C．5/6　　D．不存在
【答案】C
【解析】根据定积分的可加性可得:




【答案】0.


【终极突破】


　A．0　　B．π/4　　C．2　　D．4
【答案】C


2.若f(x)在R上可导,f(x)=x²+2f'(2)x+3,则
　A．16　　B.-18　　C．-24　　D．54
【答案】B
【解析】∵f(x)=x²+2f'(x)+3，f'(x)=2x+2f'(2)，令x=2，可得f'(2)=-4，则f(x)=x²-8x+3，



　A.　　B.　　C.　　D.
【答案】C.



则称f(x),g(x)为区间[a,b]上的一组“等积分”函数，给出四组函数：
　①f(x)=2|x|,g(x)=x+1；
　②f(x)=sin x,g(x)=cos x；
　③；
　④函数f(x),g(x)分别是定义在[-1,1]上的奇函数且积分值存在．
其中为区间[-1,1]上的“等积分”函数的组数是（　　）
　A．1　　B．2　　C．3　　D．4
【答案】C．