规范解题第61期▕ 求过圆锥的两母线截面面积的最大值

发布于 2021-08-29 19:54 ，所属分类：试题库考试资料大全

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规范解题·第1期▕ 解一道基本不等式题

无规矩不成方圆

题目

已知圆锥的母线长为2，底面半径为√3，求过此圆锥两母线的截面面积的最大值.

错解

解：已知圆锥如上图所示，

显然圆锥的轴截面的面积最大，

在Rt∆POB中，

PB=2，0B=√3，

∴PO=1，

∴S_△_PAB=1/2·2√3·1=√3.

错因

高中立体几何中，圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，在过其两条母线的截面中，旋转体的轴截面面积最大吗？圆柱的确如此，因为截面是矩形，宽固定，长越长，则面积越大，这样就给学生产生了一种错误的类比，圆锥和圆台也是这样的.对于本题，∠APB=120°，故过两条母线的截面边界所构成的等腰三角形顶角在（0°，120°]这个范围，从而当顶角为90°时截面面积最大，故解答错误.

思考

等腰三角形的腰始终为2，顶角θ在边，根据三角形的面积公式S_截面=1/2·2·2·sinθ=2sinθ，再由正弦函数的图像和性质，在（0，π/2]上单调递增，在(0,π)上先增后减，在θ=π/2时取得最大值.如果对截面有细致理性的思考，那就不会想当然的处理问题.同学们你听懂了吗？可能有的同学在思考，要换成圆台呢？在学以致用环节，让答题人解决这个问题，请你往下看.

规范解题

解：已知圆锥如上图所示，

S_△_PBC=1/2·2·2·sin∠BPC=2sin∠BPC，

在Rt∆POB中，

PB=2，0B=√3，

∴∠OPB=60°,

∴∠APB=120°,

∴∠BPC∈(0°，120°]，

由正弦函数的图像和性质知，

sin∠BPC∈（0，1]，

故当∠BPC=90°时，

S_截面max=2.

总结

圆锥的母线、高、底面半径和轴截面概念；
三角形的面积公式；
正弦函数的图像和性质；
处理问题的关键看轴截面的顶角是钝角还是直角或锐角.

学以致用

已知圆台的母线长为2，上底面半径为1，下底面半径为2，求过此圆台两母线的截面面积的最大值.

学生答题

答题感悟

很多同学认为在旋转体中，此类截面面积最大时位置在轴截面，其实不然，在过两条母线的截面边界所构成的等腰三角形顶角为钝角时，面积不是最大.本题是圆台问题，其实就是圆锥问题，因为圆台是截圆锥所得，再根据相似三角形，可以回归到本期内容，解决此类题的关键是圆锥的轴截面顶角是钝角还是锐角或直角.我今后在解题时，不能出现那圆柱和圆锥类比出现想当然错误的问题.