高中数学---考点49 正弦定理与余弦定理

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【基础回顾】

1．正弦定理
，其中R是三角形外接圆的半径．

2.余弦定理
a²＝b²＋c²－2bccosA，b²＝a²＋c²－2accosB，c²＝a²＋b²－2abcosC．
变形：
　　

3.三角形中常用的面积公式：
(h表示边a上的高)

(r为三角形的内切圆半径)

【二级结论必备】

1. 由正弦定理可以变形：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.

2.三角形中常见的结论
　①A＋B＋C＝π.
　②在三角形中大边对大角，反之亦然．
　③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　④三角形内的诱导公式：
　　sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；
　　tan(A＋B)＝－tanC；
　　
　⑤在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA•tanB•tanC.
　⑥在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60° .
　⑦△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．
　⑧三角形的面积：r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)

【技能方法】

1.利用正弦、余弦定理解三角形
　　利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：
　①由已知求边和角；
　②解三角形与三角函数性质结合；
　③解三角形与三角恒等变换结合．
　　例1.(2015•东北三校联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B＝(　　)
　　　　
　　　　
【答案】C
【解析】
　　根据正弦定理：
　　得，即a²＋c²－b²＝ac，
　　得
【点评】
　　本题主要考查正、余弦定理的应用.在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

2. 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状
判断三角形的形状，主要有如下两种途径：
　（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
　（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
　　例2.在三角形ABC中，若tanA∶tanB＝a²∶b²，试判断三角形ABC的形状．
【解法一】
　　由正弦定理，得
　　所以即sin2A＝sin2B.
　　所以2A＝2B，或2A＋2B＝π，因此A＝B或A＋B＝
　　从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【解法二】
　　由正弦定理，得
　　所以再由正、余弦定理，得
　　化简得(a²－b²)(c²－a²－b²)＝0，即a²＝b²或c²＝a²＋b².
　　从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【点评】
　　本题主要考查正弦、余弦定理，同角三角函数间的关系.注意多角度思考问题，熟练准确运用公式．

3.与三角形面积有关的问题
　　三角形面积公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.这类问题常在解答题的第二问考查.
　　例3.△ABC的三角A，B，C的对边分别为a，b，c满足(2b－c)cosA＝acosC.
　（1）求A的值；
　（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值；
【解析】
　　由余弦定理得：
　　
　　所以cosA＝，由0＜A＜π，得
（2）
　　因为a＝2，由余弦定理得：
　　
　　∴bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，
　　
　　即当b＝c＝a＝2时，△ABC面积的最大值为.
【点评】
与三角形面积有关问题的解题策略：
　①求三角形的面积．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．
　②已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题， 一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
　③求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．

【基础达标】

1.【2015 广东卷】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，，且b＞c，则b=（　　）
　　　　　B．2
　　　　　D． 3
【答案】B
【解析】
　　由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
　　所以，即b²-6b+8=0，
　　解得b=2或b=4，因为b＜c，所以b=2，故选B．

2. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
　A．等腰直角三角形　　B．直角三角形
　C．等腰三角形　　　　D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
　　因为a＝2bcosC，
　　所以由余弦定理得，整理得b²＝c²，所以b＝c.
　　所以此三角形一定是等腰三角形．

3.（2015 北京卷）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=3，，则∠B______．
【答案】
　　
【解析】
　　由正弦定理得
　　所以，因为，所以，所以.

4.【2015年广东卷】设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则b=______．
【答案】1
【解析】
　　因为且0＜B＜π，所以
　　
　　
　　由正弦定理得，解得b=1.

5.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b＝1，，则S_△ABC＝________.
【答案】
　　
【解析】
　　因为c＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得，即，即
　　所以
　　所以

【能力提升】

1. (2015•苏北四市联考)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且
△ABC的面积为，则BC边的长为（　　）
　A.5　　　B. 7
　C.49　　　
【答案】B
【解析】
　　由，所以AC＝5，因此BC²＝AB²＋AC²－2AB•AC•cos120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.

2. (2015•贵州安顺二模)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　)
　A. 一定是锐角三角形
　B．一定是直角三角形
　C．一定是钝角三角形
　D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【解析】
　　由正弦定理(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，
　　可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0)．
　　则
　　所以C为钝角．所以△ABC为钝角三角形．

3.【2015 重庆卷】已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，，3sinA=2sinB，则C= ______.
【答案】4
【解析】
　　由3sinA=2sinB及正弦定理知3a=2b，
　　又因为a=2，所以b=3，
　　由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×()=16，
　　所以C=4.

4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB等于________．
【答案】
　　
【解析】
　　由余弦定理，得c²＝a²＋b²－2abcosC＝4，即c＝2.由cosC＝得sinC＝.
　　由正弦定理，得(或者因为c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sinB＝sinC＝)．

5.【2015 浙江卷】在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
　（1）求tanC的值；
　（2）若△ABC的面积为7，求b的值.
【解析】
　　由及正弦定理得
　　所以-cos2B=sin²C，
　　又，即，所以，
　　所以tanC=2.
　（2）由tanC=2，C∈(0，π)得
　　又因为
　　由正弦定理得
　　又因为，所以，所以b=3.

【终极突破】

1. 【2015 新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是______.
【答案】
　　
【解析】
　　如图，连接BD，设∠BDC=θ，
　　因为，∠A=∠B=∠C=75°，则∠ADB=105º-θ，
　　由正弦定理得
　　因为BC=2，所以
　　所以
　　由图知30º＜θ＜105º，所以
　　所以，所以
　　即AB的取值范围是.


2. 【2015 安徽卷】在△ABC中，，AB=6，，点D在BC边上，AD=BD，则AD的长为______.
【答案】
　　
【解析】
　　如图，设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，由余弦定理得
　　
　　=18+36-(-36)=90，
　　所以，由正弦定理得

　　由题设知，所以
　　在△ABC中，由正弦定理得
　　


3. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
（1）求角A的大小；
（2）若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
【解析】
　（1）根据正弦定理得2a²＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
　　即a²＝b²＋c²＋bc.①
　　由余弦定理得a²＝b²＋c²－2bccosA，
　　故，A＝120°.
　（2）由①得sin²A＝sin²B＋sin²C＋sinBsinC.
　　又sinB＋sinC＝1，故sinB＝sinC＝.
　　因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.
　　所以△ABC是等腰钝角三角形．

4.【2015 新课标II】△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，，求BD和AC的长．
【解析】
　（1）由
　　因为∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC，
　　由正弦定理得
　（2）因为S_△ABD:S_△ADC=BD=DC，，所以．在△ABD和△ADC中，由余弦定理得:
　　AB²=AD²+BD²-2AD•BDcos∠ADB，
　　AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC．
　　AB²+2AC²=3AD²+BD²+2DC²=6．
　　由（1）知AB=2AC，所以AC=1．