2021新高一新高考数学必修二第六章6.2.4向量的数量积

2021新高一新高考数学必修二

第六章 平面向量及其应用

6.2.4　向量的数量积

6.2.4　向量的数量积

学习目标 　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.

知识点一　两向量的夹角与垂直

1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).

当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.

2.垂直：如果a与b的夹角是π2，则称a与b垂直，记作a⊥b.

知识点二　向量数量积的定义

非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.

思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.

答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.

知识点三　投影向量

在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量a在向量b上的投影向量.

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1→与e，a，θ之间的关系为OM1→＝|a|cos θ e.

知识点四　平面向量数量积的性质

设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则

(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝|a||b|，a与b同向，－|a||b|，a与b反向.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

(4)|a·b|≤|a||b|.

知识点五　平面向量数量积的运算律

1.a·b＝b·a(交换律).

2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).

3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).

思考　若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?

答案　不可以.

已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c

一、求两向量的数量积

反思感悟　求平面向量数量积的方法

计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.

二、向量的模和夹角的计算问题

反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝a2，勿忘记开方.

(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝a·b|a||b|求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.

三、与垂直有关的问题

反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).

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