【四年级】等差数列求和的巧算

发布于 2021-09-08 13:37 ，所属分类：数学资料学习库

等差数列求和公式比较好用，但是在有些题目中，直接运用求和公式也比较麻烦，可以采取以下巧算的技巧。

例


从1到2020的所有自然数中，所有偶数之和，减去奇数之和，结果是多少？

1到2020的自然数列，总共2020个数，其中：偶数项1010个，2开头、2020结尾，公差是2；奇数项1010个，1开头、2019结尾。


老老实实通过公式计算当然可以计算出来，但是，如果我们把1、2作为一组，3、4作为一组，这样可以将这个自然数列分成1010组，每组都是一个奇数和一个相邻的偶数组成，每组的偶数减去奇数都是1，所以总的差额就是1010。


例


连续9个自然数的和为54，那么以这9个自然数的末项作为首项的连续9个自然数之和是多少？

先按部就班的做：

当然，还是有技巧的，连续9个自然数，他们之和应该就是中间的一个数乘以个数9，所以中间数应该就是6，这9个数就分别是：

2、3、4、5、6、7、8、9、10


以末项10作为首项的连续9个自然数就是：

10、11、12、13、14、15、16、17、18

他们之和就是中间数14×9＝126


有没有更快的计算方法？当然有！

以第9个数作为首项的数列，如果与第一个数列的每项逐一对比：

第二个数列的第1项，比第一个数列的第1项大8；

第二个数列的第2项，比第一个数列的第2项大8；

……

第二个数列的第9项，比第一个数列的第9项大8；


所以总共大8×9＝72，也就是总和为：54＋72＝126


例


100个连续自然数之和是8450，取出其中的第2、4、6、8、…、100项，剩余部分相加，之和是多少？

先按部就班的做：

（首项＋末项）×100÷2＝8450

所以：首项＋末项＝169

又根据上次讲到的通项公式，末项＝首项＋99×1

所以：首项＋首项＋99＝169

故：首项＝35


然后就是求35为首项、50项、公差为2的数列之和：

S＝50×35＋50×49×2÷2

＝50×35＋50×49

＝50×84

＝4200


计算量是不是很大？来，巧算：

取出来的是偶数项，留下的是奇数项，跟第一个例题中一样，我们把奇数、奇数后面一个偶数组成一组，有50组，每组之差是1（偶数大），也就是说，取走的偶数之和比留下的奇数之和，大50

所以留下的奇数之和

S＝（8450－50）÷2＝4200


快不快？

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