笔记 读单墫《解题研究》 谈如何学好数学

常规问题，要做到“熟练化”，熟是纯熟自如，化是出神入化。不熟不化，更要多练，待到后来，自然熟能生巧，变化无穷。

条件越多，问题就越容易解决。解题时，首先要牢记已知条件与需要解决的问题，加以充分利用，慢慢推出更多与解题相关的条件。

有时候我们还要努力创造条件。例如要证命题“若A，则B”，可以采取反证法。反证法其实就是增加了一个强有力的条件B，而要证明的结论则是“矛盾”，无论与什么矛盾均可（与已知矛盾，与已证矛盾，与熟知结论矛盾，等等）。

归纳法，也是增加一个强有力的条件：归纳假设，假设命题对n-1（或＜n的自然数）成立，在此条件下证明命题对n成立，有时宁愿将要证的结论加强再证。因为运用归纳法时，要证的结论加强了，归纳假设也就加强了，手中的条件增强，对证明当然有利,这些都是创造条件。

要通过总结，不断增长才识，能够判明什么样的解法是优雅的解法，什么样的解法是兜圈子，逐步掌握简单自然的解法。在解题中，根据“简单自然”的原则去寻找解法，去调整思路。这种识别、判断、鉴赏与调节的能力是十分重要的。

在《数学的心脏》（美国数学月刊1980年第7期）这篇文章中，数学家哈尔莫斯劈头提出一个问题：“数学究竟是由什么组成的？”

“公理？定理？证明？概念？定义？理论？公式？方法？”

哈尔莫斯认为这些都很重要，但不是数学的心脏，他强调指出：“问题是数学的心脏，”

这句名言代表了众多数学家的共同看法，也反映了数学发展的真实情况。

在20世纪开始之际，第二届国际数学家大会在巴黎召开，会议的筹备组邀请希尔伯特作一个报告。希尔伯特与他的好友闵可夫斯基商议，后者在1900年1月5目回信说：“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题。

希尔伯特接受了朋友的建议。经过近八个月的准备，1900年8月6目，已享有盛誉的、38岁的希尔伯特向国际数学界提出名为《数学问题》的报告，其中包含28个数学问题。这一意义深远、大气磅礴的演说，揭示了20世纪数学发展方向，成为数学史上的一座丰碑。

某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不容否认的，只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁般的意志和力量，发现新方法和新观点，达到更广阔、更自由的境界，”

既然“间题是数学的心脏”，学习数学自然需要解题，实际上，学习数学就是学习解题。解题，是数学的一大特点。其他的学科，例如语支，也需要习作，需要命题作文，但其数量与种类均不能与数学的习题相提并论，至于理化等科，它们的特点是动手实验或实习，我国古代数学家杨辉就曾指出：

“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题。”

任何一本现代的数学课本，都配备了相当数量的习题，用以领悟巩固所学的内容、方法。

很多人学习数学，是为了将它作为工具来运用，要使这“工具”得心应手，运用自如，必须勤加练习，很多数学书中都设计了这种应用性的问题，它比巩固性的习题要高一层次，但这种“应用”仍然是模拟的，真正的应用还必须通过今后自己的实践。

在信息社会中，知识、脑力的重要性越来越超过体力，人们也越来越多地需要数学。在1989年，美国数学科学委员会等组织写给美国政府的报告中强调：“从来没有像现在这样，美国人需要为生存而思考，他们需要进行数学式的思维”（《人人有份一致国家的一份关于数学教育之未来的报告》）。

要学会数学式的思维，必须做一些含有推理、论证的问题，这种问题比一般的计算题、求解题难度大，更有利于增长智慧。学数学如同下围棋，必须实践（做习题），必须和较高水平的人切磋（做有一定难度的题），棋力（数学水平）才有长进，此外，还需揣摩成局（学习定理的证明或著名问题的解法），领会其精髓（深刻的数学思想）。

通过解题介绍知识与方法（当然，首先用提问题的方式引入），并不是追求一种形式（有一段时期，流行过一些非常程式化的“教学方法”，大多无疾而终，这里就不举例子了），而是遵循教学中一条重要的原则：主动学习的原则。它的中心思想是：学习任何东西的最佳途径就是靠自已去发现。

所谓教学改革，无非是希望以最少的时间取得最好的效果。如果以问题与解题为中心重新组织教材，我相信能够达到上述目的。

按照波利亚的观点，“数学技能就是解题能力一不仅能解决一般的问题而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题所以，中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”（《数学的发现》第一卷序言）。

中小学为什么要开设数学课程？

数学有很多的应用，目常生活与工农业生产、经济、管理等等都需要数学。但这并不是开设数学课程的最主要的理由，事实上，如果不是专业技术人员，小学的算术与简单的方程在绝大多数场合已经足够了。开设数学课程的主要目的是教会学生如何思考。

其他课程，同样地，也担负着教会学生思考的任务，但数学是一门关于思维的科学，学习数学，对于思考能力的提高起着很重要的作用。

在此想介绍一下波利亚的观点，即“教会思考＇意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力……但是在这里，我想仅侧重说明两点就够了。

第一，我们这里所提的思想，当然不是指白日作梦，而是指‘有目的’，或有意识＇的，或‘能导致后果＇的思想，这种思想在我们谈论的范围内，也就是‘解题’。不管怎么说，我认为，高中数学课程的主要目标之一应是发展学生的解题能力。

第二，数学的思想并不总是纯‘形式＇的，它并不仅仅就只是公理、定义和严格证明，而尚有许多从属于它的其他东西：如将所观察到的情况加以一般化，归纳地论证，从类比中进行论述，在一个具体问题中认出一个数学概念，或者从个具体问题中抽象出一个数学概念，等等，或许用一句不很全面但较简短的话来说，就是：让我们尽一切努力去教会证明，同时也让我们去教会猜测”。

波利亚所说的第一点是解题，第二点也是解题。

或许有人会嚷嚷：这只是为少数尖子生服务，违背了素质教育的原则。

似乎早就料到有这样的人和这样的意见，波利亚将学生依照未来的职业分为三类：数学家约占1％，用到数学的人约占29％，不用数学的人约占70％，他指出数学教育应当符合于两个原则：

第一，每一个学生应当能够从他的学习中得到某些收获而不管他以后的职业是什么。

第二，那些在数学上表现出有一些资质的学生应当受到鼓励和吸引，而不要由于拙劣的教育使他们嫌弃数学。

“解数学题的能力，当然，依赖于某些有关的数学知识，除此而外，它还有赖于某种有益的思维习惯，某种一般性的我们在日常生活中称之为常识的东西。”这种有益的思维习惯与常识，对于所有的学，都是非常重要的，是应当具备的素质，而这，只有通过解题才能成为学生自己的东西。

对于仅约1％的未来的数学家，“将他们发掘出来是一件最重要的事情。假如他们选择了一项错误的职业，那么他们的才能将遭到浪费”，“高中教师对这1％能做到的最重要的事就是唤起他们数学上的兴趣”。“解题便是通向数学的一条最重要的道路”。

波利亚有一段名言经常被人引用：“解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学到它……你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题。”

华罗先生在一次报告中也曾说过，学习数学要做到熟练化，熟能生巧，进而出神入化。而要这样，就必须练。

苏步青先生在《怎样学好数学》一书中，介绍自己学微积分时，做了20000多道习题，可见，学好数学必须多做题，提高解题能力必须多做题，这是众多数学家数学教育家共同的认识。

很多的数学教师鼓励学生做题，很多学生做题，这是学好数学的正确的径。但也有人讥之为“题海战术”，这种人，不是身在教学一线的优秀教师，他们以为只要将课本上的定理、定义背熟了，数学就学好了，这完全抹杀了数学的等点，将数学混同于某些需要机械记忆的课程。

问题成千上万，形形色色，可以有各种分类方法：

按数学内容来分，可以分成几何、代数、数论（算术）、组合数学等，其中代数包含方程、等式、不等式、数列、函数等，几何包含平面几何、立体几何、解析几何以及一些组合几何、几何不等式，三角现在已不作为独立学科，往往纳入代数中。

按问题的结论来分，可以分为计算题、求解题、证明题。

从形式上分，有选择题、填空题、综合题。

按难度分，可以定出A，B，C，D诸等级。国际数学竞赛最难的定为A级。

我赞成将问题分成两类，一类是有固定模式的，可以按照一定的套路去做，大多数计算题与求解题及一部分证明题属于这一类。中小学课本、考试中的问题基本上都可归入这一类，另一类则是没有或较少固定模式的，很多证明题及一些求解题属于这一类，各种竞赛题或带竞赛意味的题组成这一类。它更需要解题者发挥其聪明才智，有助于培养创造能力。从难度看，前者容易得多，对于解题高手，多半可在5分钟至半小时内基本解决，而后者则至少需要半小时，甚至一小时以上。

此外，还有一个大类即所谓应用问题，然而，课本中的应用问题大多是理想化了的，并不是真正的实际问题，例如工程问题，假定每个人的工作效率保持不变，而合作时，效率等于各人效率的和，在实际中，往往并非如此，人多有时反而误事，“木匠多了盖歪屋”，国外有一种考查，要求学生完成一个设计.近年来，国内也有人主张考实际应用能力，并在每届高考中插入一道应用题，以作提倡，但真正的应用题，需要学生有很高的抽象能力，不仅了解面临的实际间题，而且善于从中找出主要因素，制定合理假设，将问题化为某种数学模型，再借助计算机等手段予以解决。因此，这类问题虽好，却是“儿童不宜”，不适合在中学普遍推广，更不应在考试中出现。对于中学生来说，还是着重在打好基础上，系统地学习数学知识，过分强调应用，反而易使知识失去系统性，变成零零碎碎。须知应用能力是很高的一种能力，现在大学流行数学建模比赛，大学生群体从事应用问题的研究是很有益的。但对中学，不应期望过高，勉强他们去做难以企及的事情。

文章有不同的写法，不过大多有三个部分：开头、正文、结尾。解题也是如此，可以分为三步，即

（1）弄清题意

（2）拟定计划

（3）实施计划。

解完以后，还可以进行一些讨论、回顾，也可以称为第四步，即

（4）总结。

波利亚列出了一张“怎样解题”表，然后围绕这张表展开讨论，我们先将这张表抄录如下：

弄清问题

拟定计划

实现计划

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