2021河南数学中考分析

2021年河南中考数学试卷及分析

2021年河南中考数学试题分析

2021年河南省普通高中招生考试数学试题，以教育部相关文件精神为指导，以《义务教育数学课程标准（2011年版）》为主要命题依据，遵循课程基本理念（人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展），数学核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析），学科育人价值，力求客观、全面、准确地反映考生的初中数学学业水平，发挥了试题的导向作用，坚持稳中求新的命题指导原则，落实立德树人根本任务。

对比往年试题，2021年试题难度与去年相近，学生反馈良好。题目推陈出新，更加突出对数学知识应用性的考查，凸显数学运算、数学推理、数学建模等核心素养的考查。

2021年河南省中考数学试卷充分体现了“立德树人”的教育功能，结合数学学科特点，试题素材、情境紧密联系实际，社会热点，贴近学生生活，展示河南人文历史韵味，试卷中的“数学味”与“生活味”对考生的数学素养有潜移默化的影响与熏陶作用。

试卷中有近六道试题（第2；8；17；19；20；21题，分值达到42分）都赋予了实际情景，以恰当的实际问题为依托，注重数学与日常生活、与社会热点的联系，这样既增强学生应用数学的意识，又能引导学生从“解题”的能手变成用数学知识“解决问题”的行家里手。

一、立足“四基”，突出基本数学素养

整套数学卷子对初中阶段所学基本内容覆盖面较广，基础性较强，比较全面地考查了学生的“四基”（基本知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验），部分试题源于教材，没有偏、怪、难题，比如1-8题，11-13题考查基本知识，16题考查计算和化简，17题考查统计中的数据分析，19题考查利用三角函数测量佛像的高度等，这些都是初中数学的基本知识和基本技能。第9题的旋转变换下求点的坐标，考查学生的基本活动经验，同时此题的解决方法较多，既可以选择互余的两角的三角函数解决，也可以构造相似三角形，甚至也可以用表达式求解，不同学生根据自己的数学认知特征可以选择不同的方法解决，这也体现了命题的公平性。

二、彰显“四能”，引导数学课堂教学方向

试卷适量增加了文字阅读量，注重阅读理解能力、聚焦“四能”（发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力、解决问题能力），引导学生发现问题、分析规律，较好地考查学生解决问题的能力，体现试卷的选拔功能。例如14题，求弧长，要首先确定圆心和半径，引导学生思考如何确定圆心；第15题考查图形变换中的折叠问题，两次折叠后，某点落在三角形的边上，学生根据已有的活动经验，会分析可能落在哪个边上，空间想象特别好的同学能快速找到两种特殊情况，多数同学会根据落点的位置顺藤摸瓜分析对应图形，也有少数同学可能通过动手操作获得对应图形，再通过图形分析解决问题。第23题，是尺规作角平分线背景下的新几何探究题目，首先给出两种新的尺规作角平分线的方法，让学生分析思考为什么这样做出来的也是角平分线，第三问在此基础上融入动点，解决特殊角度下的线段长度问题。此题设计梯度合理，层层递进，由易到难，考查范围较为广泛，观察、猜想、推理、验证，注重对学生活动方式的考查，要求学生通过观察实验、类比归纳等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性，从而培养学生从事数学探究的意识能力和信心。

三、面向全体学生，贴近生活实际，着眼于价值导向，落实立德树人任务

试卷命题贴近生活，第2题通过河南济困加入一方有难八方支援的社会主义普世思想；第8题背景北斗、天问、九章、高铁融合多方面元素；17题背景“中学生睡眠时间”也正是考生自己所熟悉的事；19题背景龙门石窟让学生感受中国石刻艺术瑰宝，增加民族自豪感；20题通过“石磨”原理，让学生再次感受中国古代劳动人民的智慧；21题通过济源市王屋山风景区“猕猴玩偶”，宣传了我们大好河南，美丽河南，人文河南。这些题目背景，让学生在解题的同时，感受数学与生活的联系，体现数学学科育人价值。

详细来说，概以如下：

一、命题原则（四性）

1.内容基础性（四基）

试卷的设计与试题的命制注重对基础知识的考查，在考查的过程中，突出对基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。

2.素材形式公平性

试题素材和呈现形式对每一位考生公平，试题评分尊重不同解答方法和表述方式。

3.数学知识应用性

试题背景突出数学知识的应用性，注重对考生应用数学知识解决实际问题能力的考查。彰显课程基本理念。

4.试卷导向性

注重对学生数学学习各个方面的考查，在知识覆盖面的基础上，实现对重点知识的重点考查；试题难易设置合理，有一定的梯度，以体现相应的区分度，使试卷能有效、全面地评价学生所达到的学业水平。

二、试卷结构

1.试卷中数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的分值比例与《课程标准》要求相符。

2.试卷满分为120分，考试时间100分钟。试题分为选择题、填空题、解答题三大类，这三类题型所占分数比例分别为25％、12.5％、62.5％。主、客观性试题分配符合评价要求，还是23道题，题量适中。

3.试卷中试题难易程度以递进式呈现，分别为基础题（73分，占60.83%）、中等题（34分，占28.34%）、较难题、难题（13分，占10.83%），试题梯度布局合理，有利于对不同层次学生的区分，较好地兼顾了学业水平测试和选拔性考试的功能。

三、试卷特点

试卷既保持了我省历年来中招命题的稳定性，又体现了《课程标准》要求的创新性理念，做到了以稳为主、稳中求变、变中求新。整体上看，有如下几个主要特点：

1.面向全体，注重“四基”“四能”的考查

重视基础知识、基本技能的考查，注重通性通法，淡化技巧，注重数学思考，避免繁杂运算，很好地贯彻了《课程标准》中面向全体学生的要求。如选择题、填空题中大多设置为对基础知识的考查；解答题注重对基础运算、逻辑推理等基本数学能力的考查等。2021年河南中考数学试题相对于前几年，有意识地在下调难度，进一步引导课堂回归学科本质，并略微调整了基础题与难题之间的比例，践行国家提倡的双减行动。

2.突出重点，注重大纲重点的考查

2021年河南中考数学试卷突出考查《课程标准》中最重要、最核心的内容，以主干知识为主：对数与式(如第1、2、4、11、16题)，方程不等式(如第7、21题)，函数（如第10、12、18、22题），三角形（如第15、19、20、23题），四边形（如第6、9、10题），统计与概率（如第8、13、17题）等知识的考查占据重要的位置。

3.适度变化，注重试题稳中有变、变中创新

解答题15题回归了折叠问题，去掉了“手拉手模型、阴影部分求面积”的套路题型，不过也有创新点，出现了2次折叠，但分析角度并没有太大变化。第16题分值从8分改为10分，且分为两道题，每道小题各5分，第1小题为计算，包含对算术平方根、零指数幂及负指数幂的考查，（把往年11题的3分内容调到了16题变为5分内容），第2小题仅考分式化简，没有求值。21题由10分改为9分，22题去年的新函数问题今年没有再延续，但探究函数本身相关性质仍是主要考查点；23题由11分改为10分，同时23题由经典的类比探究改为探究尺规作图的原理及应用。试卷适量增加了文字阅读量，注重考查学生的阅读理解能力。试题与国家的发展趋势相结合，与河南的发展相结合。引导学生在新的问题、新的情境中学以致用，对课堂教学起到了良好的导向作用。

4.贴近实际，注重应用和价值的体现

2021年河南中考数学卷进一步丰富试题的选材范围，创设了丰富的现实情境、文化情境，以学生个人生活和社会公共生活为背景设计试题，反映了数学的多种应用，在数学知识内容与提出的问题之间架起桥梁，引导学生在运用数学知识解决问题的过程中，切实感受到数学的应用价值。如第2题体现了河南人民互相帮扶的高贵品质；8题背景北斗、天问、九章、高铁融合多方面元素,在考查概率这一基础知识的同时，通过“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章量子计算机”的图片对学生进行爱国主义宣传，弘扬民族精神。17题背景“中学生睡眠时间”也正是考生自己所熟悉的事,以4月国家教育部发布的“睡眠令”为背景，考查学生获取信息、处理数据的能力，考查学生是否能够解释统计结果、根据结果作出判断、提出合理化建议，让学生在真实的情境中解决数学问题，答案具有开放性，给学生留下思考的空间。背景取材公平、贴近学生生活，让学生有亲切感，能深刻感受到数学在生活中的价值。19题背景龙门石窟让学生感受中国石刻艺术瑰宝，增加民族自豪感，在考查三角函数知识的同时，进行美育渗透，试题的设置体现了数学在实际生活中的广泛应用。20题通过“石磨”原理，让学生再次感受中国古代劳动人民的智慧,将“石磨”这一日常事物揉入试题，介绍物理学中的“曲柄连杆机构”，在考查圆的知识的同时进行德育渗透，感受身边生活中数学；21题取材实际生活，宣传大好河南。通过这些问题的设置，考查学生构建数学模型解决问题的能力，培养学生学数学、用数学的意识，真正体现数学来源于生活又服务于生活的理念。

5.思维，注重思想方法与活动经验的考查

试卷中着重考查了众多的数学思想方法（数形结合、转化化归、分类讨论、特殊与一般、运动变化、方程、函数、待定系数法等）。例如：第15、23题（分类讨论）；第9、10、22题（数形结合）；第21题（方程、函数、类比思想）；第18、22题（待定系数法）。

四、试题分析

选择题重点试题分析

2.科学记数法考查形式有3种：①带计数单位(亿、万亿)的；②不带计数单位的；③根据数字确定n值).题目多以时下全国或河南热点信息为背景进行考查，今年考的是河南热点信息。

在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA²+BE²＝AE²＝25，

设BE的长度为t，

则BA＝t+1，

∴（t+1）²十t²＝25，

即：t²+t-12＝0，

∴（t+4）（t-3）＝0，

由于t＞0，

∴t+4＞0，

∴t-3＝0，

∴t＝3．

∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．

故选择：C．

填空题试题分析

一、命题意图

从“四基”上，考查了分式有意义的条件、函数的相关计算、统计的基本应用、几何图形的相关计算；从数学能力上，考查了数感与符号感、空间观念、运算能力、推理能力，能综合运用空间与图形的知识进行分析问题和解决问题的能力。

考查主要数学思想：转化、分类讨论、数形结合思想。

二、考查主要知识点

11题：把经常考的简单计算换成了分式的性质及意义，属于基础题

12题：考查函数的基本性质，开放性题目，属于基础题。要求写出一个图象经过原点的函数解析式，作为一道答案开放的试题，即有利于考查学生对函数图象的理解，也有助于学生创造性的发挥，有助于今后在教学中注重对学生创新意识、创新能力的培养。

13题：统计基本应用，结合图形得出结果，属于基础题

14题：将正方形、圆的内容结合起来考查。方格背景下求弧长，题目难度不大，但想解决问题要确定这段弧所在圆的圆心，这其实是由课本题目（九上P111页例1）改编而来。这种源于课本的考题，既立足教材又对教材中的问题进行适当的拓展或延伸，旨在引导教学回归教材，注重数学基本知识和方法的掌握。

15题：两次折叠。将直角三角形、轴对称图形内容相结合，解决图形的折叠问题，考查学生的基本知识及构造图形、数学推理能力。大胆创新，将实践操作融入其中。试题以折纸为背景，以折纸活动中真实的思维历程为线索，从直角三角形折叠入手，运用图形变换构造新的图形，充分考查了学生综合运用知识解决操作类问题的能力。

三、典型错误简析

11题正确的答案为 X≠1，学生典型的错误有：① X>1且X≠1 ②X>1 ③X=1 ④X=0

12题学生写的答案有的不规范。

13题 出现的主要问题是字体不规范，如把“甲”字写成“申”、“由”、“用”等，学生自己去添加字，如写成甲厂 、甲场

四、由发现的问题，提出教师今后教学的建议

1．书写要规范，不要连笔，不要涂抹不清。数字、字母书写要工整，如甲写的像申、用等；y写的像9等，不能让改卷老师去猜答案。

2．填空题只最终的结果，不解题过程，像合并同类项、约分等基本运算的题目要化到最简结果。

3．加强学生对基础知识的理解和运用，数学知识要严谨。如函数后缀加零的、不合并同类项的，属于基础知识不牢固。

4．平时的教学过程中，对基础薄弱的学生，要重视他们的基础知识、基本概念和基本运算的熟练程度，使他们尽可能地多得分；对基础较好的学生，不仅要提高他们分析问题、解决问题等综合运用知识能力，更要他们做题的细节，把会做的题做对，减少失误，减少失分。

第16题试题分析

一、本题命题意图

第16题主要考查学生的基本计算能力和基础知识掌握能力。

二、考查的主要知识点

第16题第1小题为计算，包含对负指数幂、算术平方根及零指数幂等的考查，两步出结果；第2小题考查分式化简、分式的加减乘除运算、因式分解、通分约分等基本数学素养，今年没有考求值形式仍然是往年形式：①A÷(B±C)；②(A－B)÷C；③A－B÷C；。

三、典型错误简析

（10）分式化简与分式方程分不清

四、由发现的问题，提出教师今后教学的建议

1、日常教学过程中，重视基础知识和基本技能的传授与解惑；强化基本计算能力的训练，除了今年考查过的负指数幂、算术平方根、零指数幂、分式化简、分式的加减乘除运算、因式分解、通分约分等知识，还有实数的运算、解方程（组）、不等式（组）也要加强训练并熟练运用掌握。

2、重视解题过程的书写工整，步骤规范，卷面整洁，字迹清晰。

3、对于错误率较高的问题，找出错误原因，并有针对性地进行训练。

4、重视心理素质的培养，要求学生冷静、不急躁，认真对待简单题目。

第17题试题分析

一、本题命题意图

2021年“统计与概率”部分考了15分，分别是8、13、17题。作为大题的17题主要考查学生对数据的收集、整理与分析能力。

二、考查的主要知识点

抽样调查（问卷调查法）、统计图（直方图和扇形统计图）、中位数、合格率等。

三、典型错误简析

1. 对问卷调查法收集数据、整理数据步骤理解不清，学生见空格就填，有不少考生把填写调查问卷作为考试内容的一部分。

2. 通过分析与计算寻找中位数的方法掌握不牢。例：有不少的考生在第（1）问的第一个空中，填写第②组或者第⑤组等。

3. 学生书写不规范，第（1）问第一个空，题中点明“（填序号）”，按题中序号的书写应填③，有不少考生填写：3、三、第3组、第三组等。第（1）问第二个题中点明“百分比”，不少考生填写0.17、17/100、17：100等。但是还有个别考生漏写百分号，直接填写17，属于错误答案。

4. 第（1）问填空题，部分考生把算式写在答题卡上，导致卷面不明晰。

5. 第（1）问第二个空填写的答案化简不彻底或者化简错误。例直接填写：85/100。

6. 第（2）问中，要求作出评价并提出建议，部分考生对评价和建议这两个词语的概念不理解，混淆不清。例：写长长的一段话，全是建议，无评价。

7. 由于没有认真审题，第（2）问中的评价错误或不合理。例：有考生作答:该校学生的睡眠时间情况很好或者良好。

8. 第（2）问中的评价含糊不清。例如：用一般、还行、也行等词语作评价。

9. 第（2）问中的建议答非所问、偏离题意、没有条理。例如：学生直接答“影响该校学生睡眠的主要因素是什么”；要么不考虑建议的可行性或多条建议混在一起。

10. 第（2）问中的评价和建议不一致，背道而驰。

11. 字体潦草，分辨不清。

四、通过评卷发现学生问题，提出教师今后教学的建议

1.平时注意学生阅读能力的培养，应注重逐步提高学生仔细审题，规范解答的良好习惯。

2.对于基础题，要注重提升学生较快地解题速度，以给综合题留足思考与探究的时间；通过限时训练，培养学生认真快速审题的习惯，提高解题速度，达到又快又准。

3.要注重学生表达能力的训练，重视解题过程的书写规范，要求书写工整，排列整齐，不写错别字。

第18题试题分析

一、本题命题意图

本题是一道反比例函数的题目，较好地体现了对基本思想、基本能力、基本素养的考查。本题侧重考查学生用待定系数法求函数解析式和反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键。试题在核心基础知识的同时，又突出考查了数学思想和能力，紧密贴合课标，很好地达成了中考的诊断和选拔功能。

二、考查的主要知识点

1.待定系数法求反比例函数解析式----第1问。

2.反比例函数系数k的几何意义和正方形的性质---第2问。

三、典型错误简析

1.求出k的值后，把反比例函数解析式写成了一次函数解析式或二次函数解析式，如学生在求出k=2后，写出的函数解析式为

y=2x、y=x²_。

2.部分同学做题不认真，第一问把答案写成y=2/k，第二问只计算第一象限内阴影部分的面积，结果忘记乘4，这就导致好多学生得到的结果是2。

3.部分同学基础知识不牢固，不会利用B点的坐标求小正方形的面积。一种情况是在求B点坐标时，联立方程组求解时没有把负值舍去，另一种情况是求出B点坐标后，不会利用正方形的性质求小正方形的面积。

4.k的几何意义理解不清，把正方形的面积

来计算。

5.审题不清，做题思路不清晰。能明白解题的大致思路但书写混乱，不会把己知条件转化为数学语言。

6.书写步骤不规范，解题过程过于简单，甚至没有求解过程，部分同学字体太潦草,难辨认。

四、通过评卷发现学生问题，提出教师今后教学的建议

1.重视基础知识，加强用待定系数法求函数解析式知识的掌握与理解。

2.在反比例函数的教学中，反比例函数系数k的几何意义需加强渗透。

3.反比例函数与方程组结合求点的坐标时，要注意坐标的象限特点。

4.在四边形的教学中，加强学生对特殊的平行四边形的性质的理解。

5.注重学生计算能力的培养，提高计算的速度与准确率。

6.注重培养学生良好的解题习惯，注意解题过程的规范性。

第19题试题分析

一、本题命题意图

本题以龙门石窟为背景，让学生感受中国石刻艺术瑰宝，增加民族自豪感，让学生在解题的同时，感受数学与生活的联系，体现数学学科育人价值。本题主要考查利用三角函数测量佛像的高度等，这些都是初中数学的基本知识和基本技能。模型来源于课本上的“九下P76页第1题、P79页第8题”，不需要学生添加辅助线，注重数学通法的考查，注重数学思想的渗透，注重数学知识从课本的迁移。

本命题点均在解答题的19题或20题考查，考查的模型有：①背对背型，②叠合型（或母子型）.涉及的角度为：一个特殊角和一个非特殊角；两个角都为特殊角或非特殊角。今年的就是母子型，一个特殊角和一个非特殊角。

二、考查的主要知识点

三角函数定义、特殊角度的三角函数值、解直角三角形。

三、典型错误简析

1.特殊三角函数的值记忆错误，如：sin45°=1。

2.没有按照要求去书写结果，或者计算误差较大。比如：计算结果等于17、17.1等。

3.书写格式不规范。如：没有指明在哪个三角形中，直接去计算。

4抄错题中的数值，如：把BC=4抄成BC=3或者BC=5。

5.审题不清楚，重复计算,学生直接设BD为未知数，求出结果为17.4,又多加一个3，认为佛像高度为17.4+3=20.4。

6.答错位置，把20题的答案写到19题，或者书写得答案超出答题区域。

7.步骤过于简单，只有简单的数字计算，没有罗列条件。

8.解题思路混乱，字体太潦草。

四、通过评卷发现学生问题，提出教师今后教学的建议

1. 重视基础知识，三角函数定义和特殊角三角函数值要抓牢，注意二者的理解与记忆。

2. 理解三角函数的解题思路是通过已知边角求未知边角，在实际问题中求线段的长，找到要解的直角三角形合理选用边角关系。

3. 数量关系不明确，要会正确找出图中数量关系，使问题明朗化，注意数形结合地渗透。

4. 注重学生计算能力的培养，提高计算的速度和准确性，并注意关于近似值的处理技巧和方法。

5. 注重培养学生良好的解题习惯，注意解题过程的规范性。

6. 注重数学思想的渗透，注重数学活动经验的迁移。

第20题试题分析

一、本题命题意图

本题以“连杆” “石磨”为背景，通过对“曲线连杆机构”原理与使用方法的阅读理解，考查学生综合利用所学知识解决数学问题的同时，让学生了解中国古代劳动人民的智慧结晶，同时也让学生感受数学与生活的联系，体现了“数学源于生活，寓于生活，用于生活”的应用价值和育人价值。

二、考查的主要知识点

圆切线的性质、圆周角定理、勾股定理、图形相似、锐角三角函数。

三、典型解法及错误简析

1、如下图，第（1）问通过常用辅助线作法“有切点，连半径，得垂直”连结OP,把∠PAO转化为∠POC，再结合圆周角定理或三角形外角证明∠PAO=2∠PBO。

第（2）问证法分析如下：

（a）如图a，先利用半径PO、线段PA长求出线段AO,然后构造Rt△POD∽Rt△OAP，利用相似三角形对应边成比例的性质求出线段PD、OD,在Rt△PBD中结合勾股定理求PB长。

（b）根据∠PAO=∠POD，利用∠POD的正弦、余弦结合半径求出PD、OD，在Rt△PBD中结合勾股定理求PB长。

（c）如图b，先利用半径PO、线段PA长求出线段AO，再用直角三角形面积或射影定理求出线段PD、OD，然后结合矩形性质转化线段OD、OB，最后在Rt△PBE中结合勾股定理求PB长。

（d）如图c，先求出线段PD、OD长，再通过证明△PDE∽△BOE，结合相似三角形的性质求出线段OE、DE，然后利用勾股定理求出PE、BE，进而得到PB长。

（e） 如图d，构造等腰△PAQ，先求出OA、OQ长，进而求得QC长，再证明△CQO∽△CBP，利用相似三角形性质求得PB长。

（f）如图e，分别以OM、ON为x轴、y轴建立平面直角坐标系，并结合已知条件求得点P坐标（-3,4），表示点B（0，-5），然后利用两点间距离公式求出线段PB长。

2、答题不规范，字体太潦草 如：字母P、D、O不分、A、H不分，角符号“∠”与不等号“＜”不分；应用三个大写字母表示的角用一个大写字母表示；忘记带角的符号；“∵”“∴”符号写不全；使用“∠1、∠2”却不在答题卡上标注；所有角都用“∠1、∠2……∠10”进行标记。

3、辅助线使用不规范 如：题目叙述了辅助线，答题卡上没有做出；辅助线添加字母时与用过字母重复。

4、证明过程过于繁琐，如：第（1）问可以用简短的几步证明，但学生答案占了大半个答题区域；运用三角形内角和进行等量代换时，逻辑关系混乱，找不出因果关系。

5、勾股定理使用不规范，不指出在某个Rt△中，没有线段间关系，直接代入数据。

6、计算错误、结果不化简，如：最后计算结果出现

等情况。

四、通过评卷发现学生问题，提出教师今后教学的建议

1.平时注意培养学生认真审题、仔细答题、规范解答的良好习惯，要求学生书写工整，排列整齐，不写错别字，使用规范的数学语言等。

2.在平时的教学中多注重学生计算能力的训练，提高运算能力，不因小失大。

3.重视解题的规范性，不仅要教给学生解题策略，更应让学生充分理解做题依据，解题时做到有理有据。

第21题试题分析

一、本题命题意图

本题是典型的方案最值题。以河南济源市王屋山风景区“猕猴玩偶”为背景，考查学生从实际问题中抽象出数学问题，并构建数学模型寻求结果的能力，学生的应用意识。根据具体问题中的数量关系列出方程、不等式、函数等数学模型，体会这些模型是刻画现实世界数量关系的有效工具。重点考查学生对二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数的掌握运用情况。

二、考查的主要知识点

二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数的应用

三、典型错误简析

1、不理解题意，导致答题不全 如：只完成第（1）问或者（1）、（2）问

第（1）问列方程组（方程）时不能通过审题找出等量关系或正确列出方程却解方程组出错，导致全盘皆输。

2、审题不仔细，导致不等关系错误 如：A不得超过B进货数量的

4、设元不恰当，造成混淆 如：前两问都用x、y。

5、书写步骤不规范，字体太潦草 如：漏掉函数增减性的分析直接求值下结论。

6、一次函数性质理解不透彻，运用错误 如：W=a+450中，错把a当系数，a＞0，W随着a的增大而增大；错把450当系数分析，450＞0，W随a的增大而增大。

7、不能合理运用一次函数性质解决实际问题 如：第（2）问求得a≤10后，罗列“a=1,2……10”计算结果，然后找出最大利润。

四、发现学生问题，提出教师今后教学的建议

1、方程的学习，多让学生仔细审题，学会提取信息，做到正确描述等量与不等量关系。

2、提升学生计算能力，重视数学的规范书写。

3、函数性质的教学要落到实处，基本概念，基础知识要扎实，不能似是而非，似懂非懂。

4、数学课堂上多引导学生发散思维，多角度解决问题，同时也要注意优化解题方法。

5、教学中加强数学思想方法的渗透，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，利用方程思想、函数思想解决方案问题。

6、注重学生核心素养的培养，增强知识与生活的联系，灵活进行知识迁移，做到学以致用，增强实践应用能力。

第22题试题分析

一、本题命题意图

本题和去年一样，是二次函数题，由从前的23题降低难度而成22题。旨在考查学生利用所学函数知识解决综合问题的能力，主要考查数学中的分类讨论、数形结合等数学思想方法的运用情况。

二、考查的主要知识点

二次函数图象与性质、一次函数的图象与性质及二次函数与不等式的关系

三、典型解法及错误简析

3、计算能力差。如：求出B点的横坐标-1后，竟然把纵坐标求错。

4、审题不细致，不按题目要求回答问题，作答不认真。如：第（1）问只求m值，忽略n值，或求出m值后画蛇添足写出解析式，甚至求对答错；第（2）问只写方程组或方程的解，不写点B坐标。

5、不等式（组）概念缺失。如：求出x＜-1或x＞2之后综合为2＜x＜-1或不等式无解。

6、缺乏数形结合、分类考虑问题的能力。如：第（2）（3）不会读图、作图，导致解集求错。

四、发现学生问题，提出教师今后教学的建议

1、教师应重视基础知识的教学，不断提高学生的计算能力。

2、平时练习不易过难，应树立学生学好数学的信心，激发学生学习兴趣，不能让学生对数学望而生畏，从而厌学数学，导致最基础的知识也不愿意去学。

3、注重提高学生分析问题、解决问题的能力，规范解题。

4、通过多元化活动的探索，渗透分类讨论、数形结合数学思想。

第23题试题分析

一、本题命题意图：

基本尺规作图是中考的必考点，以往都是出现在选择中，今年拿到了压轴上，图形是常见的图形，在八年级无数次的遇到这个图形：角平分线、全等三角形，凹四边形，梭型等等。本题通过两种不同于基本尺规作图的角平分线的其它作图方法，引导学生分析思考为什么这样做出来的也是角平分线，然后让学生在理解的基础上加以运用，并解决特殊角度下的线段长度问题。本题注重对学生活动探究的考查，培养了学生思考问题、分析问题、解决问题的能力，同时改变了传统的类比探究题目，打破常规，回归基础，去套路，让学生有充分地数学活动经验。

通过直观的尺规作图操作活动，让学生从感性认识上升到理性认识。既考查学生的动手能力，也考查了学生的直观想象与推理能力，使知识的考查从直接应用走向理解应用。使学生在尺规作图中了解作图的道理，理解和解决数学问题。素材简单，情境真实，让学生在实际情境中体验发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。这样的试题，意在引导学生的学习从记忆转向理解，更多的数学本质。问题层次清晰明了，从不同高度考查学生的能力、思维品质，充分体现数学学科的思维含量，是命题组的用心之作。

二、考查的主要知识点

尺规作图、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数。

三、典型解法及错误简析

1、本题第（2）问证法较多，分析如下：

（a）如图1，先证明△ODE≌△OCF,得∠OED=∠OFC，结合等腰△OEF，证得∠PEF=∠PFE，则PE=PF，然后证明△OPE≌△OPF,得到∠AOP=∠BOP，根据角平分线的定义得出结论。

（b）如图2，先使用“SAS”证明△ODE≌△OCF，得∠OED=∠OFC，再使用“AAS”证明△CPE≌△DPF，最后“SSS”证明△OPF≌△OPE或△OCP≌△ODP，得到∠AOP=∠BOP，根据角平分线的定义得出结论。

（c）如图3，先使用“SAS”证明△ODE≌△OCF，得∠OCF=∠ODE，结合等腰△OCD与等式性质证明∠PCD=∠PDC，得出PC=PD后，再次证明△OCP≌△ODP, 然后得到∠AOP=∠BOP，根据角平分线的定义得出结论。

（d）如图4，先使用“SAS”证明△ODE≌△OCF，得出两三角形面积相等，减去公共四边形OCPD的面积得

，由已知可证CE=DF，因此PH=PG，然后利用角平分线性质定理的逆定理证出结论。

（e）如图5，先证明△ODE≌△OCF,得∠OED=∠OFC，结合等腰△OEF，证得∠PEF=∠PFE，则PE=PF，根据OE=OF可知，点P、O均在EF垂直平分线上，利用等腰三角形三线合一的性质可得出OP平分∠AOB。

2、审题不细致，不按要求作答。如：第（1）问明确要求填写序号，结果填写成“ABCDE字母”、“数字1、2、3形式”、“定理名称HL”；第（2）问题判断时回答“正确”、“得到了”、“能”、“对”、“成立”、“可以”、“合理”、“平分”，答非所问。

3、书写不认真，辨认困难。如：第（1）问的回答中出现不规范数字，“2”、“3”、“5”不分；第（2）问学生进行证明时字母书写不规范，如“D、P、O、C不分”。

4、书写混乱无序，卷面脏乱差。

5、知识点运用错误。如：使用“SSA”“AAA”证明三角形全等；有线段相等无垂直，就使用角平分性质定理的逆定理。

6、证明过程中，自创条件，无中生有。如：辅助线多用途，想要什么有什么；需要证明后才能使用的结论直接当做条件使用。

四、本题建学建议：

1、重视基础知识，基本作图的依据一定要给学生分析到位，帮助学生记忆，让学生理解知识的生成过程。

2、正确理解全等三角形的判定与性质，让学生明白几何证明过程要有理有据。

3、教给学生做题的方法，让学生真正把知识点融会贯通。

4、注重培养学生良好的解题习惯，注意解题过程的规范性。

5、注重对学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养。

总体来看，2021年河南省中招考试数学试卷是对考生数学能力的一次全方位的“体检”，对考生的数学运算能力、数学语言与符号表达能力、数学建模能力、数据处理与分析能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、抽象思维能力进行“无死角”的考查。考查维度由“双能”向“四能”延展，在原来分析问题和解决问题的基础上，拓展到发现和提出问题的层次。通过设置探究型问题、开放型问题、操作型问题、应用型问题和运动变化型问题，考查学生数学能力与核心素养。

既体现了对以往试卷优点的继承，同时又有一定的创新；既了数学的学科本质，又了学生核心素养的发展；充分发挥数学学科培养理性思维的价值以及解决实际问题的应用。既对学生的学业水平作出了合理评价，又为高一级学校选拔提供了主要依据，同时对一线教学也起到了良好的导向作用。

纵观整张试卷，处处体现出命题组在命制试题的过程中，心中有标准，眼中有学生，彰显出数学教育工作者的智慧和对学生未来生活的引领，是一份全面检验学生学习成果的试卷，对初中数学教学具有重要的指导意义。